共因故障的冗余系统和一个储备部件的可靠性

刘丹红，许跟起

(天津大学理学院，天津 300072)

近年来，利用泛函分析方法研究各种随机系统，以解决随机建模中的适定性及稳定性问题，成为目前研究的热点问题．文献[1-2]是较早的适定性研究报道，目前文献[3-6]主要运用泛函分析方法来研究系统的稳定性，在系统动态非负解存在唯一的基础上，利用系统算子生成的 Banach空间中的正压缩0C半群，来证明系统的动态非负解是系统算子的 0本征值对应的非负本征向量，进一步通过研究系统算子的谱特征，证明在边界条件含有积分的情况下系统算子的谱点仍均位于复平面的左半平面且虚轴上除0外无谱，从而得到系统的渐近稳定性．笔者研究的模型是Chung[7]提出的，考虑由 2个不同共因故障的 3个状态部件的冗余系统和1个储备部件组成的系统，储备冗余性被广泛用于提高系统的可靠性和可使用性，而共因故障是系统可靠性的关键问题之一，使用这种冗余系统能使具有共因故障系统的可靠性最大化，对这样的系统做了大量的研究和改进工作[8-10]．本文研究的系统显然是适定的，笔者证明了初值条件下系统的动态解收敛到稳态解，并对算子的谱做了进一步研究，讨论了系统动态解收敛于系统的定态解的收敛速度问题，并给出了系统可靠性条件．

笔者首先介绍了模型的基本假设及模型的方程表示，将所要研究的模型转化成一个抽象发展方程，此模型显然是适定的，这表明系统的动态解在范数意义下收敛到系统的稳态解；然后，对算子的谱做进一步研究，进而讨论系统动态解收敛于系统定态解的收敛速度问题；最后研究了系统可靠性条件．

1 模型的基本假设及模型的方程表示

模型的基本假设如下：

(1) 系统共因故障或其他故障具有统计独立性；

(2) 共因故障只有在系统中有一个以上部件工作时才会发生；

(3) 所有的部件以及系统的共因故障率是常数；

(4) 系统的维修时间服从随机分布；

(5) 只有当系统(包括储备系统)故障时，系统的部件才会被维修，故障系统经过维修跟新系统一样；

(6) 储备系统在初次使用时是全新的；

(7) 所有的部件都是不同的；

(8) 所有的部件在t＝0时处于工作状态．

模型的方程表示为

2 将方程抽象成发展方程

假定系统的修复率μj( x) , j = 7 ,8是 L1局部有界函数，且满足条件

在X中算子A的定义和定义域D(A)分别为

3 系统的稳定性分析

本节研究系统的稳定性问题，证明系统在假定条件下存在非负稳态解，然后表明系统的动态解在范数意义下收敛到系统的稳态解．先求算子 A的共轭算子 A*的 表 达 式 ，设 Q=(q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6,q7( x), q8( x) )，Q ∈ D(A*)，则 ( A P , Q ) =(P , A*Q )，由此得到A的共轭算子 A*的表达式

式中：q7(x)、q8(x)绝对连续；q7( x), q8( x) ∈ L∞(R+)．

定理1设空间X和算子A如上定义，则γ=0是A的本征值，且是简单本征值．假定对任意的r∈R+

那么除了零点之外，虚轴上没有A的谱点．

证明(1)0是A的本征值且对应的本征向量P，对应的本征空间是一维的．

考虑本征方程AP＝0

解微分方程得到

(2) 0也是 A*的本征值，对应本征函数 Q =(1,1,…,1)且对应的本征空间也是一维的．

根据算子 A*的表达式直接验证 Q = ( 1,1,…,1)∈D ( A*)是算子 A*对应于 0的一个本征函数，且对应的本征空间也是一维的．

通过上面的证明可以知道0是A的本征值，且对应的本征空间是一维的，相应的本征函数非负，0也是 A*的本征值，本征空间也是一维的，对应的一个本征函数Q，且有 (, Q)≠0．因此，0是A的简单本征值．

(3) 在式(7)条件下，虚轴上除了零点之外都是属于预解集．

对 ∀ s ∈ R,s ≠ 0,∀F ∈X ，考虑预解方程

4 谱的进一步分析与定态解的指数稳定性

从第3节结果可以看到，条件(7)满足时，系统的动态解收敛于系统的定态解．本节将进一步讨论这种收敛的速度问题，这需要对算子 A的谱做进一步的研究．为此，考察条件

5 系统的可靠性分析

6 结 语

研究了一个共因故障的冗余系统和一个储备部件系统的可靠性．首先，在较一般条件下证明了系统的正解存在，从而表明系统模型的合理性．在修复率满足一定条件下，证明了系统稳态解(或定态解) 存在，并且系统的动态解以指数形式收敛于系统的稳态解．结果表明：在修复强度较大的情况下，在有限时间就能看到系统的稳定状态．这一结果在可靠性分析中对能看到稳定状态的时间进行估计，并给出这一时间相应的系统正常工作的概率估计，也可用于实际系统正常工作概率的预测.

符号说明：

i = 0—2个活动部件都处于工作时的系统状态；

i = 1—部件 1在open故障方式，部件2正常工作时的系统状态；

i = 2—部件2在open故障方式，部件1正常工作时的系统状态；

i = 3—2个活动部件都在 open故障方式时的系统状态；

i = 4—2部件处于 closed故障方式工作时的系统状态；

i = 5—2个活动部件因共因故障工作时的系统状态；

i = 6—储备系统处于工作时的系统状态；

i = 7—储备系统在 closed故障方式而无法工作时的系统状态；

i = 8—储备系统在open故障方式而无法工作时的系统状态；

j = 7—储备系统在 closed故障方式而无法工作时的系统状态；

j = 8—储备系统在 open故障方式而无法工作时的系统状态；

pi( t)—系统处于状态i时的概率；

pj(x, t)—系统处于无法工作时的状态 j，并且已经维修了x小时的概率密度；

μj( x)—系统处于无法工作时的状态 j，并且已经维修了x小时的维修速率；

λok,λck—系统处于 open，closed故障方式时，部件 k 的故障速率常数，其中 k＝1，2，s；

λcc—共因故障损坏速率常数；

α—用储备系统替换损坏的系统的速率常数．

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