完全正则序半群上的模糊理想

李春华

（华东交通大学基础科学学院，江西南昌330013）

1971年，Rosenfeld在文[1]中引入了模糊子群的概念，率先进行了模糊代数理论的研究。随后，N.Kuraki[2]正式开始模糊子半群理论的研究，并引入了半群中的模糊理想和模糊同余的概念，得到了一些漂亮结果。目前，国内许多半群学者对各类半群上的模糊理想和（模糊）同余进行了卓有成效的研究[3-10]。2002年，Kehayopulu和Tsingelis[11]在序半群中首次引入了模糊双理想等概念，给出了其等价条件的证明。众所周知，完全正则序半群为序半群的真子类，也是目前半群研究的热点之一，因此，开展完全正则序半群的模糊理想研究，是有意义的。

1 预备知识

文中一般定义及记号均参见文献[11-12]。

称 (S，⋅，≤)为序半群，若 (S，⋅)是半群，(S，≤)是偏序且 偏 序 对 乘法运算是相容的，即(∀a，b，c∈S)a≤b⇒ac≤bc，ca≤cb，称序半群 (S，≤)为完全正则的，若对任意 a∈S 存在 x∈S 使得a≤a2xa2。为方便，在本文的讨论中，如无特别说明，S总表示一序半群。令A为序半群S的子半群，A称为S的内理想（拟理想），若SAS⊆A（AS∩SA⊆A）；a∈S，b∈A，a≤b⇒a∈A，称映射 f：S→[0，1]为序半群S的一个模糊子集。对任意x∈S，称 f(x)为x对 f的隶属度。令 f，g为序半群S的两个模糊子集，作如下定义：

显然，以上“◦”满足结合律。序半群S的模糊子集 f称为S的模糊子半群，若∀ a，b∈S，f(ab)≥f(a)ˆf(b)；a≤b⇒f(a)≥f(b)，f称为 S的模糊左理想（模糊右理想），若∀ a，b∈S，f(ab)≥f(b)（ f(ab)≥f(a)）；a≤b⇒f(a)≥f(b)，f称为S的模糊理想，若 f既是S的模糊左理想又是S的模糊右理想。

定义1[12]令 f为序半群S的模糊子集，f称为S的广义模糊双理想，若

特别地，称序半群S的广义模糊双理想 f为模糊双理想，若 f为S的模糊子半群。

定义2[12]令 f为序半群S的模糊子半群，f称为S的模糊内理想（模糊拟理想），若∀x，a，y∈S ，f(xay)≥f(a)（(f◦S)∩(S◦f)⊆f）；a≤b⇒f(a)≥f(b)。

易知，序半群S的模糊拟理想为S的模糊内理想，反之则不一定成立。令P为序半群S的子集，P称为半素的，若∀a∈S，a2∈P⇒a∈P。

定义3 令S为序半群，S的模糊子集 f称为模糊半素的，若∀a∈S ，f(a)≥f(a2)；a≤b⇒f(a)≥f(b)。

2 主要结果

命题1 令S为序半群，A为S的非空子集，则A为S的拟理想当且仅当A的特征函数CA为S的模糊拟理想。

证明 必要性：显然，对任意 a，b∈S，当 a∉A或 b∉A时，有 CA(a)=0或CA(b)=0。于是，CA(ab)≥0=CA(a)ˆCA(b)；当a∈A且b∈A时，有CA(a)=CA(b)=1，且有ab∈A，即CA(ab)=1。故对任意a，b∈S，CA(ab)≥CA(a)ˆCA(b)。下证CA满足模糊拟理想的两个条件。令a，b∈S且a≤b，则分两种情形：若b∈A，则CA(b)=1。又 A为S的拟理想，故由b∈A，a≤b⇒a∈A。即CA(a)=1。若b∉A，则CA(a)≥0=CA(b)。综上所述，CA(a)≥CA(b)。另一方面，由 A为 S的拟理想，易证CA◦S∩S◦CA⊆CA。故CA为S的模糊拟理想。

充分性：令a∈S，b∈A且a≤b，则由CA为S的模糊拟理想，得CA(a)≥CA(b)=1。即CA(a)=1。于是，a∈A。另一方面，由CA◦S∩S◦CA⊆CA，易证AS∩SA⊆A，因此，A为S的拟理想。

命题2 令S为序半群，f为S的模糊子半群，则以下各款等价：

定理3 令S为序半群，则以下各款等价：

注记：由定理3易知，序半群S的任一拟理想A为半素的等价于S的模糊拟理想CA为模糊半素的。但对于序半群S的一般子集P为半素的却不能推出其特征函数CP为模糊半素的（而在普通半群中却成立[10]）。

例：令S为序半群，乘法和偏序“≤”定义如下：

aa=b，ab=b，ac=d，ad=d；ba=b，bb=b，bc=d，bd=d；ca=d cb=d，cc=c，cd=d；cc=c da=d ，db=d ，dc=d ，dd=d 。 ≤{(a，a)，(b，b)，(c，c)，(d，d)，(a，b)，(d，b)，(d，c)}

现取 S的一般子集 P={a，b}，易知 P为半素的。但对于 b，d∈S，尽管有 d≤b，而0=CP(d)＜CP(b)=1。故CP不为模糊半素的。

定理4 令S为完全正则序半群，f为S的模糊子集，则以下各款成立：

[1] ROSENFELDA.Fuzzy groups[J].Journal of MathematicalAnalysis andApplications，1971，35（3）：512-517.

[2] KUROKI N.Fuzzy bi-ideas in semigroups[J].Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli，1979，28（1）：17-21.

[3] XIE XIANGYUN，TANG JIAN.Fuzzy radicals and prime fuzzy ideals of ordered semigroups[J].Information Sciences 2008，178（22）：4357-4374.

[4] XIE XIANGYUN.Fuzzy ideals extensions in semigroups[J].Kyungpook Mathematical Journal，2002，42（1）：39-49.

[5]XIE XIANGYUN，TANG JIAN，YAN FENG，A characterization of prime fuzzy ideals of ordered semigroups[J].Fuzzy Systems and Mathematics，2008，22（1）：39-44.

[6]LI CHUNHUA，GUO XIAOJIANG，LIU ERGEN.Good congruences on perfect rectangular bands of adequate semigroups[J].Advances in Mathematics，2009，38（4）：465-476.

[7]李春华，刘二根，徐保根.关于左型A半群上的fuzzy同余[J].纯粹数学与应用数学，2009（4）：681-685.

[8]李春华，徐保根.富足半群上的F-好同余[J].模糊系统与数学，2008，22（4）：39-41.

[9]李春华，徐保根.IC拟适当半群上的Fuzzy好同余[J].吉林大学学报：理学版，2009，47（4）：667-670.

[10]李春华，刘二根.富足半群上的模糊Rees-好同余[J].兰州理工大学学报，2010，36（4）：128-130.

[11]JOHN N M，DAVENDER S M，NOBUAKI K.Fuzzy semigroups[M].New York：Springer-verlag Berlin Heidelberg，2003.

[12]KEHAYOPULU N，TSINGELIS M.Fuzzy sets in ordered groupoids[J].Semigroup Forum，2002，65（1）：128-132.