参数H(a,X)与正规结构

张海霞 ,刘景源

(1.河南师范大学数学与信息科学学院,河南新乡 453007;2.安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳 455000)

0 前言

下面给出Banach空间是一致非方的和具有正规结构的概念。

定义1[8-9]Banach空间X是一致非方的,若存在δ＞0,使对任意x,y∈S(X)或者

定义2[2,9-10]Banach空间称为具有(弱)正规结构,若X的每个非空(弱紧凸子集)有界闭凸子集A至少包含一个非直径点,即存在x0∈A,使得:

本文对常数J(a,X)进行了改进,定义了新参数H(a,X),得到该参数的一些性质,同时证明了其与一致非方、正规结构关系定理,H(a,X)除了具有常数J(a,X)的特点外,还可利用它计算出一些具体空间上的参数值,这是常数J(a,X)很难办到的。

1 参数H(a,X)的性质及与一致非方、正规结构关系

定义3 对a≥0,x∈S(X),y,y-ax∈B(X),令:

由参数H(a,X)的定义容易得到以下性质:设X是非平凡Banach空间,则有:

(I)H(0,X)=J(X),H(a,X)≤2,a＞0;

(II)H(a,X)≤J(a,X),H2(a,X)/2≤CNJ(a,X);

(IV)H(b,X)+a/2≤H(a,X)+b/2,其中,0≤a≤b,特别H(a,X)是[0,+∞)上的连续函数,其中,参数J(X)、CNJ(a,X)的定义和性质参考文献[7]。

引理1[3,8]设x,y∈S(X),0＜ε＜1,且(x+y)/2＞1-ε,则对任意0≤c≤1,z=cx+(1-c)y,有＞1-2ε。

定理1 如果对某个a∈[0,2),有H(a,X)＜2,则X是一致非方的。

证明 若a=0则显然成立。若a≠0,假设X不是一致非方的,则对任意0＜ε＜1,存在x,y∈ S(X),使得/2＞1-ε/2＜1-ε。取y1=(1-a/2)x+(a/2)y∈B(X),则有y1-ay=(1-a/2)x+(a/2)(-y)∈B(X),由引理1知:

从而H(a,X)≥2(1-2ε),由ε的任意性知:H(a,X)=2,与已知矛盾,故得证。

定理2 如果对某个a∈[0,1],有H(a,X)＜(3+a)/2,则X具有正规结构。

证明 由题设知X是一致非方的,从而是自反的,其上正规结构与弱正规结构等价,故只需证明 X具有弱正规结构。

假设X不具有弱正规结构,则对任意 ε＞0,存在 x1,x2,x3∈S(X),满足 x2-x3=x1;(x1+x2)/2＞1-ε(x1-x3)/2＞1-ε,现取

2 计算二维Day-James空间关于参数H(a,X)的精确值

例 考虑二维Day-James空间X=l∞-l1,其上范数为:

下面将证明相反不等式,设以下出现的 b,c,d∈[0,1]。

当x在第一象限时,设x=(1,b)∈S(X),由对称性仅讨论y在单位球上且在x与-x连线上部的情形。

如果y在第一象限,设y=(c,d)∈B(X),且d≥bc,则:

如果y在第二象限时,设y=(-c,d),则:

如果y,y-ax都在第三象限,设y=(-c,-d),且d≤bc,则:

又y-ax∈B(X),于是d+ab≤1;c+a≤1。而

采用类似方法可讨论 x在第二象限的情形,再由单位球面的对称性,x在其他位置时有同样的结论。

3 结论

证明了参数H(a,X)与一致非方、正规结构关系定理,从而得到一类具有正规结构的Banach空间。计算出了二维Day-James空间X=l∞-l1上参数H(a,X)的精确值,此说明参数H(a,X)的优越性。但由于空间X=l∞-l1具有一致正规结构[7],故定理2的不等式结论还有待提高,且需要进一步讨论H (a,X)与一致正规结构关系。

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