关于数学模型评价的思考与实践

魏国强

(江南大学理学院,江苏无锡 214122)

关于数学模型评价的思考与实践

魏国强

(江南大学理学院,江苏无锡 214122)

重视数学模型的评价对于全方位提升数学建模能力具有举足轻重的作用.数学建模的假设应遵循目的性、简明性和真实性准则;数学模型的选择要符合适合性、基础性和可行性准则;提出模型算法评价的3项指标;给出粗略及细致检验模型求解结果的策略.这些准则和策略在数学建模实践中的合理应用,有助于数学建模教学和参赛的成功.

数学建模;评价;准则;指标;策略

1 引 言

近年来,每当各类大学生数学建模竞赛结果揭晓,在许多获胜者收获喜悦的同时,也常有不少参赛者因成绩不佳而留下深深的遗憾.其成绩不佳的原因主要有以下几个方面：(i)对问题的理解不准确或假设不合理;(ii)模型构建或解法失当;(iii)计算有误.作者回顾近年来担任我校大学生数学建模参赛组织培训工作的经历,深刻体会到：数学建模教学过程中在全方位提升学生双向翻译能力、解模能力、观察猜想能力、逻辑思维能力[1]的同时注重培养学生对数学模型的分析评价能力,将有利于他们对模型和算法的优化选择,使建模和求解过程中的错误减少到最少,从而使他们的数学建模能力得到显著提升.然而由于数学模型千姿百态,种类纷繁,对其评价并非易事.参赛论文中常见的例行公事式的优缺点评价往往于事无补,专门讨论数学模型评价的文章也不多见[2].结合近年来从事数学建模教学、培训的体会,作者尝试就数学模型评价的内涵、功能、若干原则与准则以及方法策略等展开探讨,旨在与同行交流.文中例题都指全国大学生数学建模(CUMCM)赛题.

2 数学模型评价的内涵与功能

数学模型的评价是人们利用已有的知识和经验,依据一定的准则,采用一定的方法,对自己或他人建立与求解数学模型的过程和结果进行全面的检验、判断,以利于对已建模型及其求解过程调整、完善和发展的过程.

数学模型评价对于学生成功完成建模、提高创新能力的功能在于：

第一,它是完善数学建模的重要环节和循环中枢.这从下面数学建模的基本步骤[5]不难看出：

(i)建模准备(确定课题);

(ii)建模假设(对原形抽象、简化);

(iii)构造模型(表现为数学表达式或算法程序等);

(iv)模型求解(多为数值结果);

(v)模型分析和评价;若评价合格则转(vi),否则转(ii)修改假设及模型,循环往复直至得到满意结果.

(vi)模型应用.

正是模型评价这一步骤使数学建模遵循“肯定—否定—否定之否定”的唯物辩证法的基本规律,走上螺旋式上升或波浪式前进的良性发展轨道.

第二,数学模型的评价是全过程、有目的的评价,建模者要掌握模型评价的基本准则和合理方法,有理有据地思考判断和抉择,有利于培养学生的认知能力、改善认知结构;

第三,有利于调动学生学习数学建模的积极性、主动性,提高自学兴趣,全方位地提高建模能力.

近年来,我们在抓好数学建模教学培训各个环节的同时,通过开设讲座、讨论班等各种形式引导学生反思自纠、品析错例、评价思路,重视对数学模型评价的教学,保持了培训的优质高效,获得了多项大学生数学建模竞赛的全国奖,并荣获06年度高教社杯.这也从一个侧面反映了数学模型评价分析的作用.

3 数学模型评价的准则和策略

3.1 数学模型假设的准则.

数学模型假设总的准则是围绕建模目的,保留事物的本质因素对原形进行抽象简化,为成功建模提供前提条件.具体准则有：

(i)目的性准则.从原形中抽象出与建模目的有关的因素,简化掉与建模目的无关或关系不大的因素;例如2006年A题(出版社资源配置)给出的调查数据不少与建模目的无关,需要去掉;

(ii)简明性准则.所给假设条件要简单明确,有利于建模;

(iii)真实性准则.假设条件要符合情理,不违背原形的本质属性,简化带来的误差要在实际问题允许的范围内.例如在2007年的大学生数学建模竞赛中,有的参赛队在求B题的最优公交线路时想当然地假设环形线路公交车、地铁是单向行驶,违反了公交车双向对开的常识,造成大量计算结果错误,功亏一篑.

真实性和简明性有时会发生冲突,稳妥的做法是先按简明条件建模,然后再逐步扩充以反映原形.例如2005年B题(DVD在线租赁)的问题(1)中,若假设题中给出的从1000名会员调查得到的5种DVD碟片的需求比例就是现有10万会员的需求比例,则5种DVD的需求量就可由此比例同比扩大10万倍得到;而严格地讲,对每种碟片而言,10万会员的需求量是服从正态分布的随机变量,其分布参数可从上述1000名会员的调查数据估计得到.通过给定置信度计算置信区间上限得到10万会员的碟片需求量.并指明：前者的处理方法是后者取置信度为0.5时的特例.

3.2 数学模型评价的准则.

模型假设的目的性准则、简明性准则和真实性准则仍可作为构造模型的准则.此外还应遵循下列准则：

(i)适合性准则 要选择适合问题本质特征、符合建模目的要求及建模人能力特长、符合求解软硬件条件的模型[4],“适合的就是最好的”.

例如1998年A题(投资的风险和收益)中指明投资的总风险用各项投资中最大一项衡量,机械套用Markowitz理论用总收益方差作为目标函数将导致错误结果.

再如我校参赛学生在构造2006年A题(出版社的资源配置)模型时,精选经济效益、满意度、市场占有率和计划准确率4个指标,为评价各单位的综合实力,又经标准化处理后用线性加权和法化为单目标规划模型,取得了优异成绩,其中王艳等3位同学获高教社杯.而对于2007年B题,要求建模寻找乘公交(包括地铁)出行的最佳线路.目标可能有：换乘次数最少,时间最少,乘车费用最少等.有的参赛者受2007年A题解法思维定势的影响,仍然采用线性加权和法化为单目标规划,求得所谓综合指标为目的的“最优线路”,显然这不能满足每个乘客的效用偏好,与题意不符.正确的方法是将各目标按字典序排列,用目标规划法分别求出各种目标下的最优线路供乘客选择.

(ii)基础性准则 尽可能以相关专业理论、成熟数学方法或已有数学模型作为基础,并有所改进和创新.如在求解2004年B题(奥运会临时超市网点设计)时,我校参赛学生将商圈理论中著名的哈夫模型及哈夫法则[3]结合本题实际加以改进,解决了各商区有效购买力的计算问题.研究表明：近年来国内外大学生数学模型赛题大多可在某些成熟模型基础上改进或推广解决,但都需要结合题意,克服一定的困难,不能生搬硬套.仍以近年来我国CUMCM赛题为例：2005年B题(DVD在线租赁)可以指派问题模型为基础,但要克服随机因素及DVD碟片的购买与分配相结合等困难;2006年A题可建立整数多目标规划解决,但需要克服海量数据的筛选、不同质优化指标的设置及标准化等困难;2007年B题的公交线路查询可归结为在有向图上找最短路,但存在线路站点多、数据量大,公交车、地铁的多条线路之间的换乘等困难,必须将最短路的Dijkstra和Floyd算法改进后才能应用于本题.

(iii)可行性准则 为使建立的模型便于求解,应尽量减少决策变量的个数、尽可能减少非线性约束和目标函数.

3.3 模型算法的评价.

不同的数学模型可导致不同算法,而同一模型也可采用不同的算法.算法决定效率,甚至决定成败.可用以下指标评价算法：

(i)得到准确解的比率 即多次应用该算法计算同类问题得到准确解的百分比.若准确解难以得到,可用计算中获得的最好解替代;

(ii)计算速度 可考察在特定的软硬件环境条件下计算不同规模模型的时间.有条件时可作算法复杂性分析,判断是否为有效算法(多项式时间算法);

(iii)占用内存空间大小 这一指标直接影响算法可解问题的规模.占用计算机内存空间过大的算法,无论其计算速度如何,都不能求解大规模问题.

再以2007年B题公交线路查询问题为例：据统计,绝大多数参赛队根据集合求交思想利用搜索法求解,此法对换乘次数少的线路效率较高,但随着换乘次数的加大,计算时间快速增加.尽管有方法改进,但算法及编程的复杂性令许多人难以承受.

若建立有向图求最短路的0-1规划模型求解,则建模思路清晰,模型结构简单,求解不受换乘次数的限制因而可精确地求出各种目标下的最优线路,所建模型具有通用性.但求解此模型必须解决数据量大占用内存大的问题.如果考虑直达时间矩阵或距离矩阵容易生成而将问题处理成完全图,那么近4千个站点每两站对应一条边,共有近1600万条边,在0-1规划中对应同样多的决策变量xij,这是计算机内存不能承受的,不少参赛队因此受阻.2008年暑假集中培训时,我们指导学生利用MATLAB软件编程列出所有直达边,此时边数为不到39万条,仅为处理成完全图时的1/40.再算出对应边的最短直达时间和最少直达费用并生成文本文件,利用软件间的数据交换功能将上述数据导入Lingo程序并成功运行,得到模型的精确结果.学生在模型与算法的比较评价中学会建模、学会计算,增长才干.

3.4 模型结果的评价与检验.

在人们费尽周折建立并求解数学模型并得到结果后,即进入结果评价阶段.注意到对于开放性问题,不同的假设会导致不同的模型从而得到不同结果,其正误难以比较;此外,数学模型结构复杂、步骤多、数据量大,正确结果通常未知,结构检验并非易事,完全避免出错几乎是不可能的.然而省略这一步骤则可能前功尽弃.因而采用适当策略提高检验效率以降低出错风险是明智的.我们建议按实际情况选择使用粗略检验与细致检验两类方法.

以下为粗略检验：

(i)检验量的界限.数学模型中的变量都有明确的实际意义,其取值的正负、范围常可预知,若结果不符合这些条件则必错无疑.对于最优化问题,如用其它方法得到的可行解较模型中解出的“最优解”还优,则结果错误明显.

(ii)检验量的对称性.实际问题中条件对称的两个量其计算结果应保持一致,否则结果错误.如在2004年A题中,所处位置对称的两个商区人流量应一致,如A5与A7,A2与A10,B2与B4,C1与C3的人流量不等,则计算有误.

(iii)检验参数取特殊值时的结果.如果一个模型是由熟知的经典模型扩充推广而成,则参数取特殊值使模型复原时,应得到原经典模型的结果.例如：若求得允许缺货库存模型的订货批量,在令单位缺货成本无穷增大时与不允许缺货条件下的结果不同,则模型计算结果错误.

以下为细致检验.当条件许可时,采用细致检验策略可能比将问题重新求解一遍效果更佳、时间更省.

(i)多种解法或多人(竞赛时仅限于同队队员间)计算结果对比.若利用多种方法求解同一问题或多人求解同一问题得到一致或基本一致的结果,则求解出错概率大大降低,且不同解法所依据的原理差异越大,检验的准确性越高.例如在求解2007年B题时,将集合求交法与0-1规划法求解的结果进行比较和相互验证,效果极为理想.

(ii)分层分步检验模型计算结果.模型解决的问题可由多个子问题有序构成,前面子问题的结果可影响后继子问题;每个子问题的求解由假设、建模、编程等步构成,每步的结果直接影响后继步的结果.解决问题过程中分层分步检验,尽可能在每一步中查出并纠正错误,避免错误累积,大大提高了工作效率.例如2000年B题(钢管订购和运输)的各钢厂到各待铺设管道节点的费用矩阵、2007年B题的直达时间(费用)矩阵等都是应该重点检验、不容有错的中间结果.

[1] 赵建昕.提高数学建模能力的策略研究[J].数学教育学报,2004,13(3)：50-52.

[2] 丁思统.关于数学模型的评价与检验[J].江西农业大学学报,2006,28(4)：641-644.

[3] 赵丽君,朱华岚.基于GIS商业零售业商圈分析[J].遥感技术与应用,2003,18(3)：144-148.

[4] 叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材(一)[M].长沙：湖南教育出版社,2000.

[5] 陈理荣.数学建模导论[M].北京：北京邮电大学出版社,1999.

Practice and Thoughts on Mathematical Modeling Evaluation

W EI Guo-qiang
(School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China)

Mathematical modeling evaluation is very necessary in raising students’modeling ability.Its presupposition must abide by purpose,simplicity and objectiveness.Mathematical model’s selection should accord with suitability,basic and feasibility.We put forward evaluation index abort model algorithm and check policy about calculate result.It is helpful to success of mathematical modeling teaching and competition to apply suitably this criterion and policy in the mathematical modeling practice.

mathematical modeling;evaluation;criterion;index;policy

G421

C

1672-1454(2011)03-0164-04

2008-09-16