多项式拟合法在船载外测数据实时压缩算法中的应用✴

吴金美，胡上成，凌晓冬

多项式拟合法在船载外测数据实时压缩算法中的应用✴

吴金美，胡上成，凌晓冬

（中国卫星海上测控部，江苏江阴214431）

为了解决船载外测设备采样数量大的问题，船中心机必须对外测数据进行实时预处理，适当压缩后才能向外发送。将多项式拟合的方法应用到外测数据的实时压缩算法之中，通过建立一组正交多项式基，运用最小二乘法估计得到拟合点的平滑公式，在综合分析多项式截断误差和随机误差的基础上总结得出最佳压缩多项式次数和采样点数。理论分析和实例仿真结果均表明，该方法达到了良好的压缩和滤噪的效果，能够在比较高的精度范围内体现数据的真实曲线特征。

航天测量船；外测数据；多项式拟合；数据压缩；滤噪

1 引言

目前，“远望”号测量船的外测数据采样率远高于测控中心数据处理时所采用的数据率，其数据量大约超出20倍，即假设当测量船采用每50ms一点的数据采样率时，最后却仅需向中心提供每秒1点的外测数据，包括该点对应的瞬时船位相对于地平坐标系的角度、距离和速度数据，因此在预处理时需要对测量数据进行压缩。传统做法是舍去其余点、只取整秒点的数据［1］。很显然，这种方法既浪费了相当多的数据信息，还容易带入较大的测量误差，甚至采用了偏差较大的不合理值。除此之外，常用的处理方法还有平均法。平均法虽然在一定程度上平均掉了误差，不会出现野值的情况，但还是无法接近运动目标的真值。

实时处理系统在对外测数据进行压缩前，已经进行了船摇、船体变形、船位误差等修正，但无可避免地，数据中仍包含了随机误差和船摇变形等因素引起的误差。作为一种压缩比固定的有损压缩，在实现高效率压缩的同时能否去除噪声等的影响，使得输出数据保真度更好，这将直接影响到定轨等对外测数据的后续处理的精度。在这个意义上，需要寻求一种算法简单、压缩速度快、精度更高的压缩方法。

目前，能够同时滤波的数据压缩处理方法大多以小波变换为基础，但基于小波变换的滤波和压缩算法都基于“阈值”法，其“阈值”的选择、分解尺度的确定仍是一个困难的问题。考虑到多项式拟合法模型完善、算法简洁，在时域滤波、信号检测等领域有广泛应用［2-5］，本文主要探讨如何将多项式拟合法应用到船载外测数据实时压缩中，以达到高效的压缩和滤噪。

2 数据压缩原理和模型

2.1 基本原理和假设

船载外测设备通过对目标飞行器的连续跟踪和测量得到目标的实时方位、俯仰、径向距离等数据，转换到直角坐标系得到目标位置的3个坐标分量。由于测量过程是连续的，所以可以认为在一个适当小的时间尺度里，t时刻的测量值与前后几个时刻的值密切相关，以t时刻为中心，选取适当的半径，在测量数据链上截取一个区间，利用这个局部数据集的信息来估计t时刻的数据真值，则输出的t时刻估计值必然优于t时刻的测量值。在实时处理中，积累一个局部数据集，输出中心点的目标位置在3个坐标分量的估计值和微分得到的速度估计值，再积累1 s测得的数据，构成新的局部数据集，输出间隔1 s的下一个估计值，这样大量的数据进行压缩得到每秒1点的输出值。在t时刻的局部数据集里，充分利用每个数据的信息，用一个多项式组合来拟合运动函数，用最小二乘估计得出的拟合值滤去了噪声等误差，比平均法更为接近真值。

假设采样间隔为h，积累的局部数据集中的采样时间点为ti=ih，i=1，2，…，n。设飞行目标运动函数为f（t），采样点ti时刻的设备测量值为yi，则yi=f（ti）+εi，εi为随机误差（也包括修正残差）。根据Weierstrass第一逼近定理，可以用一组最高次数为m的多项式来拟合f（t），即近似模型为

2.2 构造正交多项式基

为了减小在进行最小二乘估计时正规方程系数矩阵的计算量，以及多项式阶数变动时的重复计算量，现在从最简单的代数多项入手构造正交多项式基。设P为［0，nh］上的多项式的全体，对p，q∈P，定义内积〈p，q〉=，若〈p，q〉=0，则称p，q正交。利用Schmit正交化方法:

可以得到:

可以看出，利用Schmit正交化方法构造出来的正交多项式有很多特性，例如奇次多项式关于区间中点奇对称、偶次关于偶对称，这在进行内积计算时可以减少很多计算量。

2.3 用正交多项式拟合f（t）

于是

拟合点位置输出公式:

拟合点速度输出公式:

上面两公式就是在区间内任意压缩点的输出公式。由前面的分析，我们选择局部数据集的中心点为压缩点，h取0.05 s，，局部数据集点数n为奇数，只需要确定m和n。下面通过对压缩效率的计算来讨论m和n的选取方法。

2.4 压缩效率分析

数据压缩的保真度取决于多项式对真实信号的拟合效率，最小二乘估计的精度取决于估计值与真值的偏差的期望和方差这两个量。上述两个数据中，一个用于衡量估计值与真实信号的偏差即截断误差大小，另一个衡量平滑的效果即随机误差的大小。

事实上，多项式次数越高截断误差会越小，但同时曲线摆动会加剧，也就是平滑方差又会增大；局部数据集点数越大，平滑效果越好，但截断误差又会增大，容易引起时序的相关性。为了得到误差期望和方差关于m和n的表达式，进行了如下推导:

采用同样的方法，可得出速度压缩的偏差Δ′（t）的估计和方差为

可以看出:截断误差随m增加而减小，随n增加而增大；而随机误差随m增加而增大，随n增加而减小。式（6）、式（8）中只未知，但一般变化不会很大，在估算中不妨当作定值（这在事后数据处理时可以用很多方法进行统计估算，但实时运算时无法估算）。

实践中，为了避免多项式摆动可能产生大的振荡，多项式进行拟合时一般很少使用超过6阶的多项式。在航天应用背景中，航天测量信号的主趋势有三阶多项式特征及特征点［2-3］，故对外测数据进行拟合时一般采用的多项式最高次数为2次或3次［1-3］。另一方面，作为外测数据实时压缩预处理，局部数据集的大小直接决定了输出数据的迟延滞后。如果n≤41，积累n点数据，在整秒点输出，时间滞后1 s；如果41＜n≤81，时间滞后2 s；如果81＜n≤121，时间滞后3 s。n越大，滞后时间越长，为了满足实时性的需求，一般时延不超过1 s，因此n取值小于41点，如常用的21点、41点。在对位置进行压缩输出时，由于p1（t）、p3（t）关于中点奇对称，、式（7）容易比较得:

即同样的采样点n，三次多项式拟合与二次多项式拟合平滑效果相同但截断误差更小，所以用三次多项式进行拟合压缩。进而，对于采样21点和41点进行比较时:

相对于方差来说，21点拟合比41点拟合的截断误差小得多，因此选用21点拟合输出。

在对速度进行压缩输出时，p0（t）和p2（t）关于中点偶对称，故p′0（¯t）=p′2（¯t）=0，代入式（8）、式（9）容易比较得:

即同样的采样点，二次多项式拟合时，虽然截断误差比三次多项式大，但方差减小的幅度更大，因此用二次多项式进行拟合压缩。对于采样21点和41点进行比较时:

41点拟合虽然截断误差比21点拟合大，但方差减小的幅度更大，因此用41点拟合压缩效果更好。

综合衡量方差和截断误差，对位置压缩时，采用三次多项式21点压缩平滑；对速度压缩时，采用二次多项式41点压缩平滑。

3 仿真分析结果

为了能够准确地对各数据压缩方法的精度进行分析，需要有不含噪声的目标真实值作为比较对象，而实测任务中的外测数据没有真实值作为对比，所以我们采用理论设计弹道加入噪声的方式产生外测数据源。在Matlab仿真环境下，选取某次任务地心固联系下理论弹道的x轴方向分量数据为目标真实值。由于外测设备的随机误差一般只有几米，所以我们在目标真值上叠加一组均值为0、标准方差为10的白噪声，选取其中250 s的数据。对位置进行压缩输出时，比较只取整秒点做法、平均法及用三次多项式21点拟合和41点拟合法的结果值与真值的偏差，如图1～5所示。

从图1～5可以看出，三次21点多项式拟合压缩法比较平滑地体现了数据的特征，其与真值的偏差也明显小于整秒点输出法和平均法。在用三次多项式对位置数据进行拟合时，采样21点比41点偏差更小。

对速度进行压缩输出时，比较二次和三次多项式的拟合效果图，以及二次多项式21点拟合和41点拟合法的结果值与真值的偏差，如图6～9所示。

从图6～9可以看出，二次多项式比三次多项式拟合压缩的效果更好，在用二次多项式对速度数据进行拟合时，采样41点比21点的精度更高。

4 结论

利用多项式拟合法对船载外测数据进行压缩既简单实用，又能够满足船载外测数据预处理系统对实时性的要求。从仿真结果可以看出，本文提出的多项式拟合法达到了良好的压缩和滤噪的效果，能够在比较高的精度范围内体现数据的真实曲线特征，压缩效率分析中对多项式次数和采样点数的讨论结果也在仿真示例中得到了充分的验证。

［1］安振军，王敏，胡绍林，等.外弹道测量数据采集与处理技术［J］.飞行器测控学报，2005，24（2）:56-60.

AN Zhen-jun，WANG Min，HUShao-lin，etal.Tracking Data Collection and Processing Technologies［J］.Journal of Spacecraft TT＆C Technology，2005，24（2）:56-60.（in Chinese）

［2］刘利生.外弹道测量数据处理［M］.北京:国防工业出版社，2002.

LIU Li-sheng.Data Processing of Outer-Trajectory Measurement［M］.Beijing:National Defense Industry Press，2002.（in Chinese）

［3］王正明，周海银，童丽，等.弹道跟踪数据处理中的几个计算问题［J］.国防科技大学学报，2001，23（6）:42-47.

WANG Zheng-ming，ZHOU Hai-yin，TONG Li，et al.Several Calculating Problems of the Processing of Trajectory Tracking Data［J］.Journal of National University of Defense Technology，2001，23（6）:42-47.（in Chinese）

［4］余波，简炜，陈建勋，等.基于正交多项式分段拟合的图像压缩编码方法［J］.微计算机应用，2007，28（12）:1316-1320.

YU Bo，JIANWei，CHEN Jian-xun，et al.A Method Based on Orthogonal Polynomial Partitioned Imitation for Image Compression Coding［J］.Microcomputer Application，2007，28（12）:1316-1320.（in Chinese）

［5］覃左平，刘普寅.多项式非中心平滑［J］.宇航学报，1997，18（2）:43-49.

QIN Zuo-ping，LIU Pu-yin.Non-central Differentially Moving Average With Polynomial［J］.Journal of Astronautics，1997，18（2）:43-49.（in Chinese）

WU Jin-mei was born in Yangzhou，Jiangsu Province，in 1983.She received the M.S.degree from National University of Defense Technology in 2008.She is now an engineer.Her research concerns data processing，computer software and its applications.

Email:wjm-83＠yahoo.com.cn

胡上成（1985—），男，江西高安人，2006年于武汉大学获学士学位，现为工程师，主要从事数据处理、计算机软件及其应用方面的研究；

HU Shang-cheng was born in Gao′an，Jiangxi Province，in 1985.He received the B.S.degree from Wuhan University in 2006.He is now an engineer.His research concerns data processing，computer software and its applications.

凌晓冬（1978—），男，江苏扬州人，2009年于国防科技大学获博士学位，现为工程师，主要从事数据处理、资源调度、试验评估等方面的研究。

LING Xiao-dong was born in Yangzhou，Jiangsu Province，in 1978.He received the Ph.D.degree from National University ofDefense Technology in 2009.He is now an engineer.His research concerns data processing，resource scheduling，testevaluation，etc.

Email:lxd-78＠yahoo.com.cn

Application of Polynomial Fitting in Real-time Compressing Algorithm for Outer-trajectory Measurement Data of TT＆C Ship-borne Equipment

WU Jin-mei，HU Shang-cheng，LINGXiao-dong
（China Satellite Maritime Tracking and Control Department，Jiangyin 214431，China）

In order to save storage space and improve transport efficiency from huge of dynamic data of TT＆C ship-borne trajectorymeasurement equipment，the ship-borne central computermust reprocess and compress the data.An algorithm based on polynomial fitting for real-time trajectory data compression is proposed in this paper.A seriesoforthogonal polynomialbasis are presented and the smoother formula ofoutputpointwith the least square filtering is applied.When the truncation error and random error are considered simultaneously，the best filter is obtained.Computational results show the novel algorithm is a promised compression and noise filtering method.

space TT＆C ship；outer-trajectory measurement data；polynomial fitting；data compressing；noise filtering

V557；TP274

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.12.014

吴金美（1983—），女，江苏扬州人，2008年于国防科技大学获硕士学位，现为工程师，主要从事数据处理、计算机软件及其应用方面的研究；

1001-893X（2011）12-0068-06

2011-06-20；

2011-09-28