凹透镜焦距测定实验中的误差分析

邓锂强 方运良

（广东石油化工学院理学院 广东 茂名 525000）

1 引言

透镜是光学仪器中最基本的光学元件，而焦距是透镜的重要参量之一，透镜的成像位置及性质均与其有关．在测量凹透镜焦距的实验中，产生误差的原因有很多，在尽量消除由于光学元件不同轴及光学元件之间不平行引起的误差之外，产生误差的主要因素就是景深引起的误差．由于人眼对成像的清晰度的分辨能力不是很强，像屏在一个小范围Δs′内移动时，人眼所见的像是同样清晰的，此范围为景深．由于凹透镜成像的景深较大，如果不采取一定的措施，将引起很大的误差．现分析凹透镜成像的景深跟哪些因素有关，可以采取哪些措施减小由此引起的误差．

2 凹透镜焦距的测量

在近光轴的条件下，透镜置于空气中，当第一焦距与第二焦距相等时，透镜成像的高斯公式［1］为

式中s′为像距，s为物距，f′为第二焦距，对薄透镜，因透镜的厚度比球面半径小得多，因此透镜的两个主平面与透镜的中心可看作是重合，s′，s，f′皆可视为像、物、焦点与透镜光心的距离．对于公式（1）中各物理量的符号，我们规定：以薄透镜的光心为原点，与光的传播方向一致者为正，反之为负，运算时，已知量需添加符号，未知量则根据求得结果中的符号判断其物理意义．对于凹透镜，其焦距为负．由文献［2］中负透镜的成像规律可知，要使凹透镜成实像，要满足条件0＜s＜f，物为虚物；这时像的位置0＜s′＜#，像为放大正立实像．由此可利用辅助透镜法测凹透镜的焦距，光路如图1［3］所示，物P发出的光经辅助透镜L1后成实像于A，把待测焦距的凹透镜L插入L1与实像A之间的适当位置，这时实像A对于凹透镜L而言为虚物A，将像屏向外移，使屏上重新得到清晰的像A′，即虚物A经L成一实像于A′，测定物距s，像距s′，代入公式（1）即可求出凹透镜的焦距f′．

图1 辅助透镜法测凹透镜的焦距

3 凹透镜焦距测量的误差分析

此实验产生误差的原因很多．除了各光学元件不严格同轴、不平行引起的误差以及测量误差之外，最大的误差是由于景深的存在而不能准确判断实像的位置而引起的．如图2所示，虚物点A经凹透镜L成实像于光轴上A′，理论上讲只有像屏放于A′点观察到的像是清晰的，该位置前后，像屏所成的像不是一个点，而是一个光斑，即弥散圆［4］．由于人眼的最小分辨角约为1′，只要分辨角不超过这个限度，人眼就不能分辨出真正的像点与弥散圆之间的区别，因而把弥散圆也认为是真正的像点．由文献［2］可知，视力正常者在光线充足、观察距离约为25 cm的条件下，人眼的最小可分辨物点间距为0．072 5 mm．虽然人眼的最小分辨角约为1′，但在实用上人们常取为2′～4′，最小分辨物点间距取0．150～0．300 mm．由于实验的观察条件不是太理想，这里取最小分辨物点间距δ＝0．200 mm，把直径为最小可分辨物点间距δ的弥散圆称为可容许弥散圆．像屏在点A′左右的一个小范围Δs′内移动时，只要弥散圆的直径不超过可容许弥散圆，人眼所见的像是同样清晰的，此范围Δs′为景深．这样观察到的像在一段较长的距离内都是清晰的，这就引起了较大的误差．

如图2，凹透镜L的焦距为f2′，d为凹透镜L的有效光阑，B，C处为可容许弥散圆，δ为最小可分辨物点间距，则景深H为B，C之间的距离．

图2 凹透镜虚物成实像

由相似三角形性质可得

由透镜成像的高斯公式（1）可得

把（3）式代入（2）式可得

由（4）式可见景深 H 是δ，d，s，f′的函数，δ在一般情况下可以看作常数，把H分别对d，s，f′求偏导，可得

考虑到f2′＜0，（s2＋f2′）＜0，s2＞0，d＞0．由上面三个偏导式可得H是d的单调减函数，景深随凹透镜L的有效光阑的增大而减小．0，H是s2的单调增函数，景深随虚物物距的增大而增大．是f2′的单调增函数，景深随凹透镜L的焦距的增大而增大，因f2′＜0，故景深随凹透镜L的焦距的绝对值的增大而减小．

从以上的结论可知，凹透镜L成像的景深受到有效光阑d，虚物物距s2，焦距f2′三个因素的影响．由景深而引起焦距的误差也受到这三个因素的影响．由图3可知，有效光阑d受到凸透镜成像的影响．下面分析d与凸透镜成像的关系，如图3所示，A是物点P经凸透镜所成的实像，也是凹透镜成像的虚物点，D1是凸透镜的光阑，s1是凸透镜成像的物距，s1′是凸透镜成像像距，d是凹透镜的有效光阑，s2是凹透镜成像物距，由相似三角形性质可得

图3 凸透镜实物成实像

由透镜成像的高斯公式（1）可得

把（9）式代入（8）式可得

把（10）式代入（4）式可得

4 结论

在用辅助透镜法测凹透镜的焦距时，景深与凸透镜成像、凹透镜成像的参数都有关．在实验时为了使成像较清晰，通常取凸透镜成像的物距较大，常取s1＝900 mm，凸透镜焦距为f1′＝190 mm，凹透镜焦距为f2′＝－60 mm，凸透镜光阑D1＝30 mm，最小分辨物点间距δ＝0．200 mm，这时凹透镜成像的物距取不同值时的景深如表1所示．

表1 凹透镜成像景深数据

从表1可知，由于辅助透镜法测凹透镜焦距时的景深较大，在景深范围内观察像点都是清晰的，很难判断像点A′，对测量像距s2′的影响很大，对实验结果产生较大的影响，需要想办法减小景深所产生的误差．这时可以采用二次测量法来减小误差，如图2所示，景深对于像点A′对称，要找出像点A′的像距s2′，只要测出B，C相对凹透镜的距离，取平均值就可得到实际的像距s2′．实测表明，这样能极大地减小测量结果的误差．

1 周殿清．大学物理实验．武汉：武汉大学出版社，2002．223～227

2 李良德．基础光学．广州：中山大学出版社，1987．48～49，257～258

3 张昌莘，王德明，方运良．三级物理实验教程．北京：化学工业出版社，2010．79～81

4 邓强．摄影教学中景深及其影响因素的分析．湘潭师范学报（自然科学版），2008，30（4）：90～92