一种滞后供给与销售价和等待时间均相关的EOQ模型

罗 兵，常旭华，王晶晶，张瑞娟

（重庆大学 经济与工商管理学院，重庆 400030）

0 引言

库存控制是运筹学和运营管理中的一个重要分支，库存不足或占用量过多都会对企业造成巨大经济损失。当销售商缺货时，一些顾客会转向购买其它商家的产品，给销售商带来丢单损失；如存储过多产品，又会占用大量流动资金，增加保管成本。因此，制定合理的订货和销售策略，是企业管理的一项重要工作。经典EOQ（Economic ordering quantity）模型假定短缺量完全拖后或丢失，但在实际经济生活中，短缺量经常是部分拖后的。Wee[1]建立了一个短缺量滞后供给分数为常数的EOQ模型；Padmanabhan等[2]研究了短缺量水平对滞后供给的影响，发现企业缺货数量较大时，顾客会对销售商供货能力产生怀疑，从而放弃等待供货；H.J.Chang等[3]研究了瞬时补货条件下顾客等待时间对滞后供给分数的影响，认为等待时间越长，短缺量滞后供给分数越小，建立了相应的EOQ模型，根据不同需求形式对订货次数和总成本进行了数值仿真分析；L.A.San-Jose等[4]研究了滞后供给分数与顾客等待时间和订货周期均相关的库存问题；罗兵等[5]认为仓库出空期间供应商是否开始供货对滞后供给分数有较大影响，并用某电子公司的实例进行了验证；Abad[6]假定顾客等待时间与销售商开始补货时刻点、缺货水平以及补货速度相关，以价格、现货（缺货）期长度作为决策变量，研究了价格影响市场需求下的经济订购批量问题；Abad[7]建立了变质率是时变函数且考虑丢单成本的EOQ模型，但上述研究中，要么没有考虑价格因素，或者考虑了价格对理论市场需求率的影响，却未考虑仓库缺货期间价格对短缺量滞后供给分数的影响，而实际中消费者在决策是否等待补货时一般会考虑销售价格的高低。一些学者如Pan等[8]研究了价格折扣对滞后供给的影响，但仅局限在提前期库存模型方面。笔者认为，仓库缺货期间销售价一方面通过理论需求率影响滞后供给量，即销售价越高，理论需求率越低，滞后供给量越小；另一方面，销售价与顾客等待时间共同影响短缺量滞后供给分数，即销售价越高，顾客等待时间越长，滞后供给分数越小，导致滞后供给量越小。

本文将在Abad[7]基础上，综合考虑销售价和顾客等待时间对短缺量滞后供给分数的影响，建立一种短缺量滞后供给与销售价和顾客等待时间均相关的EOQ模型，采用仿真方法研究库存系统主要参数对销售商订货、销售以及平均利润的影响，以期为企业定价和订购工作提供决策依据。

1 假设和符号定义

（1）库存系统计划期没有限制，单周期问题，一个周期长度为T；

（2）一个周期t内时刻库存水平为I(t)；

（3）市场需求连续，产品理论需求率D(ps)是销售价ps的函数，且满足dD(ps)/dps＜0；

（4）t1时刻点开始缺货，短缺量部分滞后供给，滞后供给分数ρ与销售价ps和顾客等待时间△t负相关，即销售价越高，等待时间越长，顾客越不愿意等待，ρ(ps,△t)=e-k1ps-k2△t，k1为价格滞后供给因子（与决策变量有关），k2为顾客等待时间滞后供给因子（与决策变量无关），t∈[t1,T]时刻的滞后供给量B= D(ps)ρ(ps,△t)=D(ps)e-k1ps-k2△t；

（5）存货水平影响需求或销售，存货影响销售率为β；

（6）产品会发生变质，变质率为θ；

（7）产品采购价为pb，一次订购成本为A，单位保管、缺货、丢单成本分别为h、cs、cl。

2 建立数学模型

一个周期内存货水平变化规律如图1所示。

图1 一个周期存货水平变化情况

t时刻点存货水平I(t)需满足以下等式：

由边界条件I(t1)=0，可得：

由此可计算一个周期的销售收入和各项成本如下：

销售收入R

采购成本Cb

订购成本A

保管成本Ch

缺货成本Cs

丢单成本：Cl

一个周期内库存系统总利润为

一个周期内库存系统平均利润π为

3 算例和主要参数灵敏度分析

3.1 算例

参考Abad[7]中的数据，假定理论需求率为D(ps)=a-bps，初始需求a=45，价格影响需求因子b=1.75，A=250，h=0.5，cs=2，cl=2，pb=16，β=0.1，θ=0.05，k1=0.2，k2=0.2。运用Mathmatic5.0版数学软件进行仿真寻优，计算结果为：ps=23.0，t1=7.5，T= 9.9；最大平均利润π=-15.54。

3.2 主要参数灵敏度分析

以下对系统主要参数k1、pb、a、b进行灵敏度分析，系统其余参数仍采用数值算例的数据。表1～4分别是价格滞后供给因子、采购价、初始需求和价格影响需求因子对订货与销售策略以及平均利润的影响情况。

表2 采购价pb的灵敏度分析

表3 初始需求a的灵敏度分析

由表1可知，随着价格滞后供给因子增大，销售商服务水平增大，销售价变高，平均利润逐渐减少。这意味着，在一定价格水平下，价格滞后供给因子越大，滞后供给分数越小，即愿意继续等待供货的顾客越少，对销售商而言，滞后供给量的减少会导致丢单成本增大，从而使周期内平均利润减少。因此，销售商在制定采购和销售策略时，应当提高顾客服务水平，尽量降低缺货数量，适当提高销售价，以弥补部分丢单损失；另外，销售商应当注意提升自己的品牌形象，不断提高服务质量，大力培养忠诚顾客，以降低顾客对产品价格的敏感性。

由表2可知，随着采购价提高，销售商服务水平和平均利润逐渐减小，销售价则逐渐提高。适当降低服务水平可以使平均利润趋于最大化。这是因为缺货期和订货期增加，使得缺货和丢单成本增加，但保管和变质成本却下降了，同时销售收入有所增加，后两者对利润的影响程度小于前面两者。因此，销售商应当做好系统深入的调查工作，使得服务水平与采购价相匹配，并适当提高销售价格，以保持平均利润最大化。

由表3可知，随着产品初始需求的提高，销售商服务水平、销售价格和平均利润均逐步提高。这说明初始需求越大，理论需求率也越大，在采购价一定的条件下，平均利润增加。因此，当产品销路较好（畅销）时，销售商应当提高顾客服务水平，减少缺货时间和缺货数量，缩短订货周期，分阶段提高销售价格，以保持平均利润取得最大值。

由表4可知，随着价格影响需求因子的提高，服务水平和销售价逐渐降低，平均利润减少。价格影响需求因子较高的产品一般属于高档或奢侈品，顾客对此类产品的价格比较敏感，价格影响需求因子越大，需求递减速度越快，这是造成平均利润减少的主要因素。因此，对于价格影响需求因子较高的产品，销售商应适当降低服务水平，提高资金使用率；也可适当降低销售价格，以增加理论需求，保持平均利润最高。

表4 价格影响需求因子b的灵敏度分析

4 结论

本文考虑销售价格通过理论需求率和滞后供给分数共同影响短缺滞后供给量，建立了一种需求率和滞后供给分数均与销售价相关的EOQ模型。研究结果表明，价格滞后供给因子、采购价对销售商订货策略有较大影响，产品初始需求和价格影响需求因子对销售策略有较大影响；当销售价对滞后供给分数影响较大时，销售商应当提高顾客服务水平，减少缺货时间和缺货数量；当采购价较高时，销售商应适当降低服务水平，采取缺货策略；当初始需求增加或价格影响需求因子减小时，销售商应适当提高销售价格。

[1]Hui-Ming Wee.Economic Production Lot Size Model for Deteriorating Items with Partial Back-Ordering[J].Computers and Industrial Engineering,1993,24(3).

[2]Padmanabhan.G,Vrat.P.Inventory Model with a Mixture of Back Orders and Lost Sales[J].International Journal of Systems Science, 1990,21(8).

[3]H-J Chang,C-Y Dye.An EOQ Model for Deteriorating Items with Time Varying Demand and Partial Backlogging[J].Journal of the Operational Research Society,1999,(50).

[4]L.A.San-Jose',J.Sicilia,J.GarccI'a-Laguna.An Economic Lot-size Model with Partial Backlogging Hinging on Waiting Time and Shortage Period[J].Applied Mathematical Modelling,2007,(31).

[5]罗兵，卢娜，杨帅，李宇雨.短缺量拖后率不相同时的边生产边需求EOQ模型[J].系统工程，2005，23（3）.

[6]P.L.Abad.Optimal Pricing and Lot-sizing under Conditions of Perishability,Finite Production and Partial Backordering and Lost Sale[J].European Journal of Operational Research,2003,(144).

[7]Prakash L.Abad.Optimal Price and Order Size under Partial Backordering Incorporating Shortage,Backorder and Lost Sale Costs[J].International Journal of Production Economics,2008,(114).

[8]Pan JCH,Hsiao YC.Inventory Models with Back-Order Discounts and Variable Lead Time[J].International Journal of Systems Science,2001,32(7).