一类带p－Laplace算子边值问题三个正解的存在性

王雪枝

（中北大学理学院，山西 太原030051）

1 引 言

带有p－Laplace算子微分方程边值问题，在非牛顿力学，天体物理及p－Laplacian的径向对称解等实际问题和理论研究中都有广泛的应用［1］．本文主要研究以下边值问题

本文假设以下条件是成立的：

（H2）f∈C（［0，1］×［0，＋∞）×（－∞，0］，［0，＋∞））

（H3）q（t）是 （0，1）上的非负连续函数，在 （0，1）的任意子区间q（t）不恒等于，且

2 定义与定理

令X＝C1［0，1］是一个Banach空间 ，C＊［0，1］＝ ｛u∈X，u（t）≥0，u′（t）≤0，u′（t）是不增函数，对t∈ ［0，1］｝

为了证明主要定理，给出以下在Banach空间上锥的一些定义．

定义2．1［2］令E是R上的Banach空间，非空凸闭集P⊂E被称为锥，只要满足 （a）如果y∈P并且λ≥0则λy∈P；（b）如果y∈P并且－y∈P，则y＝0．

定义2．2［2］映射α是P 上非负连续凹函数α只要：P→ ［0，＋∞）连续且α（tx＋（1－t）y）≥tα（x）＋（1－t）α（y），对所有的x，y∈P以及0≤t≤1成立．

类似的说，β是P上的非负连续凸函数β只要：P→［0，＋∞）连续且β（tx＋（1－t）y）≤tβ（x）＋（1－t）β（y），对所有的x，y∈P以及0≤t≤1成立．

设γ和θ是锥上的非负连续凸泛函，α是锥P上的非负连续凹泛函，ψ是P锥上的非负连续泛函，a，b，c，d是正实数，定义以下凸集：

和一个闭集：

引理2．1［3］设P是Banach空间E中的一个锥．γ和θ是P上非负连续凸泛函，α是P上非负连续凹泛函，ψ是上非负连续泛函且满足ψ（λu）≤λψ（u），其中0≤λ≤1，存在M，d＞0，使得α（u）≤ψ（u），‖u‖ ≤Mγ（u），对所有的为全连续，且有a，b，c＞0，a＜b，使得

（S1）｛ u ∈ P（γ，θ，α，b，c，d）α（u）＞b｝ ≠ Ø，α（Tu）＞b且u ∈P（γ，θ，α，b，c，d）

（S2）α（Tu）＞b，对u∈P（γ，α，b，d）且θ（Tu）＞c

（S3）0∉R（γ，ψ，a，d）且ψ（Tu）＜a，对u∈R（γ，ψ，a，d）且ψ（u）＝a则中至少存在三个不动点u1，u2与u3，且有γ（ui）≤d，i＝1，2，3，b＜α（u1）；a＜ψ（u2）且α（u2）＜b，ψ（u3）＜a．

通过引理2．2很容易看出u（t）是边值问题的一个解当且仅当u（t）＝ （Tu）（t）

引理2．3 T∶P→P是全连续．

证明 证明过程类似于参考文献 ［4］中第四章中全连续算子证明过程．

引理2．4［5］假设 （H1）成立．则对每一个x∈C＊［0，1］，τ∈ ［0，ε1］，

． 证明 根据引理2．2，有

．根据Φq的性质和以上两个不等式，很容易得出结论．

定义函数

3 主要结果

定理3．1 假设 （H1）－（H2）成立，存在常数a∈（0，b），且如下假定成立：

则边值问题至少有三个正解x1，x2，x3，满足

［1］ Zhang ZY，Zhang YF，Zhang FQ．Multicity of positive solutions to multi－point boundary value problem with one－dimesional P－laplavian ［J］．Ann Diff Eqs，2010，26 （4）：484－493

［2］ 郭大均．非线性泛函分析 ［M］．济南：山东科学技术出版社，2002：10－52

［3］ Wang YY，Ge WG．Existence of posicive solutions for Multi－point boundary value problems with a one dimensionl P－laplavian ［J］．Comp Math Appl 2007，54：793－807

［4］ 葛渭高．非线性常微分方程边值问题 ［M］．北京：科学出版社，2007：12－66

［5］ Li HT，Liu YS．Triple solutions for multi－point boundary value problem with P－laplaceoperator ［J］．Elect J Diff Equat．2009，150：1－9