非保守简支梁的非线性振动与混沌现象

李 娜， 赵凤群， 王苗苗

(西安理工大学理学院， 陕西 西安 710054)

0 引 言

工程实际中存在大量受非保守力作用的结构或构件.例如,在有阻尼介质中运动的物体表面所受摩擦力的方向随物体变形而改变,因此变形体的表面摩擦力为非保守力.再如,储油罐内液体的压力、输送管道中介质的粘滞阻力等都属于非保守力.

有关非保守力作用结构变形的较早研究可见Bolotin的专著[1]和Herrmann的综述文章[2].Leipholz 在文献[3]中采用Liapunov方法分别分析了梁和矩形板结构在切向随动载荷作用下的弹性稳定性问题，并给出了结构小振幅振动的固有频率与载荷参数的特征关系曲线.武际可[4]、Vitaliani[5]、 Detinko[6]等采用有限元法分别计算了端部集中非保守力作用悬臂梁和半圆拱的静态大变形问题.本文考虑了梁自身转动惯性的影响，对受沿轴线分布随动切向力作用非保守简支梁的动力学行为进行了研究.

1 系统方程

本文研究如图1所示的切向均布随从力作用下的屈曲简支梁.当考虑轴向力作用时，其非线性动力学方程可表示为:

(1)

图1 切向均布随从力作用下的屈曲简支梁

w|x=0=w|x=l=0

(2)

(3)

设挠度函数具有形式

(4)

(5)

(5)式变形为：

(6)

各个量的单位分别是：α-N/kg·m,β-1/m2·s2,γ-1/s,q-N/kg·m,f-m/s2.

2 扰动时系统的非线性振动与混沌现象分析

扰动时系统的非线性方程为

(7)

将(7)式化为一阶的微分方程组，即：

取α=1,β=10,γ=0.5,f=20,ω=π.当0

图2 系统(7)的分岔图及局部放大图

当0

图3 q=5时的时程曲线、相图、庞加莱图

随着q的增大，系统做倍周期运动，如取q=10，此时相应的时程曲线、相图和庞加莱图见图4(a)、图4(b)、图4(c),从图中可以看出系统此时为2周期运动.

图4 q=10时的时程曲线、相图、庞加莱图

当q=14.25时相应的时程曲线、相图和庞加莱图见图5(a)、图5(b)、图5(c)，从图中可以看出系统此时为4周期运动.

图5 q=14.25时的时程曲线、相图、庞加莱图

q继续增大直到q>15.7，系统经过一系列的倍周期分岔进入了混沌状态，如取q=16.5，此时相应的相图和庞加莱图见图6(a)、图6(b).

图6 q=16.5时的相图、庞加莱图

图7 q=17.7时的时程曲线、相图、庞加莱图

当17.4

q继续增大直到q>18，系统经过周期窗口进入了混沌状态，如取q=25，其相图和庞加莱图见图8(a)、图8(b)，在庞加莱图上形成了一些成片的具有分形结构的密集点，说明系统进入了混沌状态.

图8 q=25时的相图、庞加莱图

3 结束语

本文对切向均布随从力作用下屈曲简支梁的动力学特性进行了研究，分析了均布随从力的变化对系统动力学行为的影响，均布随从力在不同的取值范围内，系统表现出不同的动力学特性.分别用时程曲线、相图和庞加莱图方法发现了系统的周期运动及混沌运动，并分析了系统随均布随从力变化的分岔行为.

参考文献

[1] V V Bolotin. Non-conservative Problems of the Theory of Elastic Stability[M]. Oxford: Pergamon Press, 1963.

[2] G Herrmann. Stability of equilibrium of elastic systems subjected to nonconservative forces[J]. Applied Mechanics Review, 1967, 20(1): 103-108.

[3] H Leipholz. Stability of elastic systems[M]. Alphen aan den Rijin: Sijthoff & Noordhoff, 1980.

[4] 武际可, 苏先樾. 弹性系统的稳定性[M]. 北京: 科学出版社,1994.

[5] R V Vitaliani, A M Gasparini and A V Seatta. Finite element solution of the stability problem for nonlinear undamped and damped system under nonconservative loading[J]. International Journal of Solids and Structures,1997, 34: 2 497-2 516.

[6] F M Detinko. On the elastic stability of uniform beams and circular arches under non-conservative loading[J].International Journal of Solids and Structures, 2000, 37: 5 505-5 515.