真度约简与计量逻辑学推理模式的关系

于 鹏

(陕西科技大学理学院, 陕西 西安 710021)

0 前 言

众所周知，数理逻辑是以符号化为特点的形式化理论，它重推理不重数值计算，而数值计算恰好相反，其目的是借助于插值、差分、迭代等方法研究计算问题.两者之间相距甚远，似乎存在着一面无形的隔离墙.计量逻辑学的提出，不仅打破了这种隔离，还开辟了数理逻辑研究的新方向.利用计量逻辑学的基本原理，可以讨论诸如命题集的相容性、发散性等问题，还可以利用计量逻辑学进行命题集F(S)上的近似推理和命题集的近似约简.本文的目的就是探讨命题集F(S)上的近似推理框架与命题集近似约简之间的关系.本文中，首先给出了n值 Lukasiewicz 命题集的真度约简及α-真度约简的概念，将命题集的精确约简转化为近似约简，然后指出了这种近似约简与计量逻辑学中近似推理模式的内在联系，为在F(S)上展开近似推理提供了新的途径.

1 n值Lukasiewicz 命题系统中的真度约简

定义1s={p1,p2,…}是一个可数集,F(S)是由S生成的(,∨,→)型自由代数,是一个一元运算,∨和→是一个二元运算.F(S)中的成员S称为原子公式.

τn(A)称为n值Lukasiewicz 逻辑系统Ln中公式A的真度.这里 |E| 表示集合E的个数.

性质1 在Ln中,设A,B∈F(S)

(1)A是重言式当且仅当τn(A)=1,A是矛盾式当且仅当τn(A)=0;

(2) 如果A≈B, 则τn(A)=τn(B);

(3)τn(A∨B)=τn(A)+τn(B)-τn(A∧B);

(4)τn(A)=1-τn(A) ;

(5) 如果├A→B,则τn(A)≤τn(B);

(6) 如果├A→B,τn(A)=τn(B),则,A～B;

(7)如果τn(A→B)≥α,τn(B→C)≥β,则τn(A→C)≥α+β-1.

定义4 设A,B∈F(S),令

ξ(A,B)=τn((A→B)∧B→A))

则称ξ(A,B)为公式A与B的相似度，再令

ρ(A,B)=1-ξ(A,B))

则称ρ(A,B)为公式A与B的距离，(F(S),ρ) 称为逻辑度量空间.

定义5 设Г={A1,…，Am}⊂F(S),A∈Г,若∀B∈D(Г),τn(⊗{Г-{B}}n→A)=1,则称公式A为公式集Г的一个真度可约元,否则称A为Г的真度不可约元.

定义6 设Г={A1,…,Am}⊂F(S),Г0⊂Г,若∀A∈D(Г),τn(⊗{Г0}n→A)=1,并且,∀Г*⊂Г0,∃B∈D(Г), 使得τn(⊗{Г*}n→B)<1,则称Г0是公式集Г的一个真度约简.

定理1 设Г={A1,…，Am}⊂F(S) ,则公式集Г的真度约简总存在.

定义7 设Г={A1,…,Am}⊂F(S) ，Г1,…,Гm,是Г的所有真度约简,令

CГ=∩Гi,BГ=∪Гi-CГ,IГ=Г-∪Гi

则CГ称为Г真度约简的核,Ai∈CГ,称为Г真度约简的核心元素,Bi∈BГ称为Г真度约简的必要相对元素,Ci∈IГ称为Г真度约简的不必要元素.

定义8 设Г={A1,…,Am}⊂F(S),如果A∈Гi,τn(⊗{Г-{A}}n→⊗{Г}n)≥α,称A为Г的一个α-真度可约元,若存在一个B∈D(Г),使得τn(⊗{Г-{A}}n→B)<α,则称B是Г的一个α-真度不可约元.

定义9 设Г={A1,…,Am}⊂F(S),Г0⊂Г,如果min{τn(⊗{Г0}n→A)|A∈D(Г)}≥α,并且∀Г*⊂Г0都存在B∈D(Г)使得τn(⊗{Г*}n→B)<α,则称Г0是Г的一个α-真度约简.

2 真度约简与计量逻辑学中3种近似推理之间的关系

定义10 设Г⊂F(S),B∈F(S),∀ε>0，如果

这里H(D(Г),D(∑))=H*(D(Г),D(∑))∨H*(D(∑),D(Г)),H*(D(Г),D(∑))=sup{ρ(A,D(∑))|A∈D(Г)}.

引理1 在Ln中, 设Г={A1,…,Am}⊂F(S),∀B∈F(S),则

(1) sup{τn(C→B)|C∈D(Г)}=τn(⊗{Г}n→B)；

(2) inf{τn(B→C)|C∈D(Г)}=τ(B→⊗{Г}n).

证明：(1)在Ln中，|-(⊗{Г}n→C)→((C→B)→(⊗{Г}n→B))显然成立，则由C∈D(Г)，|-⊗{Г}n→C及MP规则与性质1(1)可知，|-(C→B)→(⊗{Г}n→B)成立，τn(C→B)≤τn(⊗{Г}n→B)，所以sup{τn(C→B)|C∈D(Г)}=τn(⊗{Г}n→B).

(2)在Ln中，|-(⊗{Г}n→C)→((B→⊗{Г}n)→(B→C)显然成立，则由C∈D(Г)，|-⊗{Г}n→C及MP规则与性质1(1)可知，|-(B→⊗{Г}n)→(B→C)成立，τn(B→⊗{Г}n)≤τn(B→C)，所以inf{τn(B→C)|C∈D(Г)}=τ(B→⊗{Г}n).

定理2 设Г={A1,A2,…,An}⊂F(S),Г0是Г的一个α-真度约简,则

(3)Г0是Г的一个α-真度约简，则min{τ(⊗{Г0}n→A)|A∈D(Г}=τ(⊗{Г0}n→⊗{Г}n)≥α.因为D(Г0)⊆D(Г),所以∀A∈D(Г0),ρ(A,D(Г))=0,H*(D(Г0),D(Г))=0,与此同时

H*(D(Г),D(Г0)) =sup{ρ(A,D(Г0))|A∈D(Г)}=sup{1-τ((⊗{Г0}n}→A)|A∈D(Г)}

=1-inf{τ(⊗{Г0}n)→A)|A∈D(Г)}

=1-τ(⊗{Г0}n→⊗{Г}n)≤1-α

参考文献

[1] Liberatore P .Redundancy in logic I:CNF propositional formulate[J].Artificition Intelligence, 2005, 163：203-232.

[2] Yan Ren, Xiaojue Ma, Hongtao Wang.Reduction of a propositional set and its roots in system[J]. Fuzzy Systems and Mathematics, 2006,2： 23-27.

[3] Lifeng Li, Dongxiao Zhang. The application of concept Lattice theory in the reduction of the proposition set in two-valued propositional logic[J]. Acta Electronica Sinica, 2007,35：1 538-1 542.

[4] L F Li, J K Zhang, F Fen.Reduction theory of finite proposition set in Lukasiewicz[J]. Computer Engineering and Applications , 2009, 7：44-45.

[5] Peng Yu, Zaien Hou.Proposition reduction based on the truth degree of proposition formula[J]. Fuzzy Systems and Mathematics , 2010,24(1)：66-70.

[6] G.J. Wang. Quantitative logic (I)[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics, 2006, 23：191-215.

[7] Yu Peng，Liu Fengchu,Wang Sanwu. The triple I truth degree solution of generalized modus ponens problem[J]. Computer Engineering and Applications,2009, 45(12):47-49.

[9] Wang Guojun. Introduction to Mathematical Logic and Resolution Principle(2nd.Ed.)[M]. Beijing: Science in China Press, 2006.

[9] G.J.Wang,H.Wang .Non-fuzzy versions of fuzzy reasoning in classical logics[J].Information Science , 2001,138：211-236.