连续线性-混沌混合隔振装置设计与研究

陶为俊，浣 石，朱石坚，李晓勇

(1.广州大学 工程抗震研究中心，广州 510405;2.海军工程大学 振动与噪声研究所，武汉 430033)

近年来，关于非线性隔振系统在各个领域受到广泛的重视，并得到普遍的应用［1-7］。非线性隔振系统存在许多迥异于线性系统的特殊性能，如共振曲线的偏移与突跳、在一定参数下可呈现混沌运动特征、内共振、吸引子共存等，这些可以用来实现线性系统无法实现的某些功能。研究表明:系统在混沌状态下具有很好的隔振性能以及能大幅度隔离结构噪声中的线谱成分，因此在舰艇等动力设备的隔振上有着广泛的应用前景［1］。

自从ueda［2］对Duffing方程的研究以来，非线性隔振系统在简谐激励下能够出现混沌响应［3-5］。朱石坚［6-8］等对非线性混沌响应进行了许多的研究，提出了混沌隔振方法，且做了相应的理论、计算与实验，证实了混沌隔振在被动隔振中的可行性，特别是在消除线谱激励上有明显的优势。然而，混沌隔振需要在非线性条件下才能够很好的工作，强的非线性对隔振系统进入混沌状态是十分有利的。

基于上述原因，本文设计出连续线性混沌隔振装置，对其力-位移曲线中线性项与非线性项进行了分析。以及利用数值计算对特定参数下的隔振装置在简谐激励力作用下的动力学特性进行分析，说明隔振装置具有很好的隔离线谱的能力。该装置的研究对其在混沌隔振中的应用具有一定的实际意义。

1 隔振装置

1.1 几何模型

分段线性能够很好的实现混沌，并且已有一定的应用［9-11］，理论上而言，分段线性隔振系统可以有多个分段，但从工程实现的角度来看，其分段数不可能过多，一般采用双线性或三分段线性隔振系统。如果系统的分段数(以弹簧为例)可以任意的增多，将弹簧从高到低排列，并将其顶端连接起来，如图1所示，将线性弹簧用弹性材料来取代，则分段线性隔振系统中包含了无限多的分段弹簧，本文称为连续线性隔振系统(如图2所示)。

图3为设计出的混沌隔振装置，该隔振装置主要由三个部分组成:(1)平面板;(2)凹面板;(3)夹心板，其具体功能如下:

(1)平面板:形状为一长方体，其功能是将上方的任意荷载通过平面板转化为面荷载，并作用到夹心板上。其刚度要求很大，在隔振装置设计中不考虑平面板的变形。

图3 连续线性隔振装置图Fig.3 Continuous linear VIS set-up

(2)夹心板:从图3中YZ平面看，其由左右两个相同的长方体和中间一个长方体组成。其功能是在上方的面荷载作用下，夹心板发生压缩变形，在压缩过程中，夹心板与凹面板接触面增大，对于每一个接触部分来说，由于变形很小，认为是线性变形。当接触的面积不断增大，使得整体反力不断提高，从而实现非线性。

(3)凹面板:形状为一长方体，在其中挖去一个凹槽，凹槽的形状根据具体的情况来设计。其主要功能是通过上方载荷的大小来实现凹面板与夹心板之间的接触面积，并提供反力。设计中不考虑凹面板的压缩变形。

1.2 工作原理

当系统未加任何载荷时，此时夹心板与凹面板的接触位置为左右两边的平台处。当平面板上方作用一载荷时，平面板向下移动，并将载荷传递给夹心板，夹心板将产生压缩变形，如图2所示。夹心板材料在整个变形中认为是线性的，即对于每个已经接触的部分来说，满足线性关系，但此时夹心板与凹面板的接触面积随着载荷的增大而增大，因此，系统的整体刚度也越来越大，从而实现非线性。从隔振装置外形来看，与三明治类似，因此，此隔振模型又可以简称为三明治隔振模型。

1.3 计算模型

图4 隔振装置平面图Fig.4 VIS plan

根据理论设计，凹面间隙最大高度为:

当荷载F在竖直方向上作用在平面板轴心上时，隔振系统此时简化为一单自由度系统，则根据竖向力平衡有:

由(2)式可以看出，方程中包含n+1次项。k1为方程的线性项系数，主要与参数E、l1、D1、h2有关，因此，线性项完全由夹心板左右两个长方体的尺寸决定。对于隔振系统的一次项刚度的调节可以通过夹心板左右两个长方体的尺寸来调节。例如，将夹心板材料模型取为橡胶材料模型，其弹性模量一般介于几个MPa到几十个MPa之间，其几何模型参数分别为h2=0.01 m，D1=0.1 m，l1=0.1 m。通过计算，上述参数下模型的一次项刚度至少可以达到107，而这个刚度完全能够满足大部分隔振设备的需要;kn+1为方程的非线性项系数，主要与参数E、D、h2有关，还与凹槽线形有关，对于确定的凹槽来说，其主要由中间长方体尺寸决定，因此，非线性项系数可以通过夹心板中间长方体的几何尺寸来调整。例如取 α =0.01，n=2，则 α-n=104，h2=0.01 m，D=1 m，则非线性项系数可以达到1012。而根据k1、kn+1的计算公式可以看出，整体刚度的变化主要通过弹性模量E，宽度D、D1，厚度h2的调整。

根据公式(3)可以看出，当压缩位移大于zmax时，凹槽与上面的弹性材料完全接触，则此时系统变为一个线性系统，其刚度由于凹槽存在，使得隔振装置计算中出现了一个附加值P。

根据k1、kn+1比例可以有下面的关系:

从式(4)可以看出，当0＜α＜1时，α-n＞1，适当减小α，增大指数n则可以增大α-n，从而增大了kn+1与k1的比例系数。但指数n与系数α在工程实际中是有限的，n不能太大，α也不能够太小，一般取α=0.01，n=2 ～4，则 α-n=104～108，则kn+1≫k1，其比例关系还可以通过夹心板宽度D1、D来进一步调节。因此，从理论分析来看，隔振装置整体的刚度可以通过上述参数的调节达到工程需要，且k1、kn+1的比例关系也可以通过参数的改变来达到预计比例。

根据上述理论分析，本文就连续线性隔振装置选择一定的参数，选择的模型几何参数为:E=5×106Pa，D=0.3 m，l1=0.1 m，D1=0.01 m，l2=0.3 m，h2=0.01 m，n=2，α =0.01，l=0.8 m，H=0.03 m，h1=0.02 m。利用理论进行计算，隔振装置的凹槽部分的线形如图5所示，凹槽最大间隙为5.447 mm，而这个凹槽的线形在工程制作中也是可以简单实现的。隔振装置在静力情况下的力-位移曲线如图6所示，其一、三次项刚度系数分别为 1.0 ×106，1.0 ×1012。

2 隔振系统装置

根据上述连续线性隔振装置模型，将此隔振装置应用在具体隔振系统中时，为了实现拉压双向作用，因此，系统中使用了两个隔振器，分别放在被隔振对象1的上下两个位置，下部隔振器直接作用在基础上，上面的隔振器通过反力架9，然后再作用在基础上。其隔振系统装置图如图7所示。

图7 隔振系统装置图Fig.7 VIS set-up

当系统在简谐激励作用下，根据连续线性隔振模型，建立其动力学方程为:

当 -zmax＜X＜zmax时:

当X≥zmax或X≤ -zmax时:

其中:n=1，2，3，…。

将方程(5)、(6)无量纲化处理后则方程变为:

3 数值计算

3.1 非线性动力学行为

混沌动力学计算研究方法主要采用4阶龙格库塔法，本文根据此方法对上述系统进行了数值计算，计算的初始条件为(0.002，0)，计算的积分步长取为激励力周期的1/100，激励力频率为43.4 Hz，静载荷G=2.2×103N，C=1.414×103(N·s/m)。当激励力幅值为F=7 700 N时，其系统轨迹为周期4运动(如图8所示);当激励力幅值为F=9 000 N时，此时系统处于混沌状态(如图9所示)，其系统Poincaré图(如图10所示)。计算其最大Lyapunov指数0.240 7。系统在上述参数下处于混沌状态。隔振系统的振幅在±4 mm以内。

为进一步分析系统全局动力学特性，对激励力幅值F从0 N～13 500 N范围内进行分析，步长为50 N。得到系统周期及混沌运动的全局演化过程如图11所示。

从图11可以看出其运动形式与激励力f的全局演化过程:系统刚开始处于P-1周期运动，接着经过了三个倍周期分岔，之后是一个混沌区和阵发性混沌区后，最后转变为一个新的P-1周期运动。

3.2 振动隔振效果

根据上述理论与数值计算研究，详细分析了本文所给定参数下的Duffing系统的非线性动力学特性和全局分岔演变过程。利用上述分析的参数模型系统，将其应用在混沌隔振上，对比处于混沌状态时的响应加速度的功率谱图与输入功率谱图(如图12，图13所示)，从图12，图13可以看出，当输入为单一频率的线谱时，其特征线谱频率为5.513 3 Hz，功率谱峰值为104.21 dB，其系统的混沌响应为一宽频谱，特征线谱频率5.513 3 Hz处的功率谱为65.53 dB，因此，通过对比分析，不难发现，当系统处于混沌状态时，该系统能够很好地将线谱的幅值降低，将单一频率转化为宽频谱，使得单一集中的能量分散到各个谐波频率上，体现了非常好的隔振效果。

4 结论

根据混沌隔振原理设计了连续线性隔振装置，该装置能够很好的实现强非线性，其线性项系数与非线性系数完全分开，且与模型装置几何尺寸一一对应，调整方便，在工程中有着广泛的应用前景。通过对特定的隔振系统进行动力学分析，得到了其全局分岔演化过程，为进一步设计、调整、优化模型装置尺寸参数起到了指导作用。

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