局部均值分解方法中乘积函数判据问题研究

张 亢，程军圣，杨 宇

(湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082)

局部均值分解(Local mean decomposition，LMD)是一种新的自适应时频分析方法［1］。该方法能自适应地将一个复杂的多分量信号分解为若干个瞬时频率具有物理意义的乘积函数(Product function，PF)分量之和，其中每一个PF分量是一个包络信号与一个纯调频信号的乘积，包络信号就是该PF分量的瞬时幅值，PF分量的瞬时频率则可由纯调频信号直接求出，进一步将所有PF分量的瞬时频率和瞬时幅值组合，便可以得到原始信号完整的时频分布。LMD方法避免了EMD方法中的过包络、欠包络、Hilbert变换带来的边缘效应以及无法解释的负频率等问题［2］，已在脑电信号分析和机械故障诊断领域得到了应用［3］。

在LMD方法中，PF分量定义为一个纯调频信号和一个包络信号的乘积，而纯调频信号需要满足相应的要求，即本身的绝对值不能大于1，而且其包络信号恒等于1，这在实际应用中很难满足。在实际的算法中，由于PF分量的纯调频信号是需要经过多次的迭代才能获得的，因此需要找到一个合适的PF分量判据，它既是可以实现的，同时也能尽量满足纯调频信号的理论条件，从而使得PF分量具有物理意义。由于PF分量与经验模态分解［4］(Empirical mode decomposition，EMD)中的内禀模态函数(Intrinsic mode function，IMF)分量具有相似性，而IMF分量之间已从数值上验证了具有正交的特点［5］，因此本文拟从PF分量的正交性入手，将 IMF分量的正交性判据［6］(Orthogonality criterion，OC)引入到LMD方法中，作为PF分量迭代终止的判据。通过对仿真信号以及实际信号的分析，结果表明由正交性判据所确定的PF分量是完备的且具有物理意义，能够实现信号的正确分解。

1 LMD方法

LMD方法的本质是通过迭代从原始信号中分离出纯调频信号和包络信号，然后将纯调频信号和包络信号相乘便可以得到一个瞬时频率具有物理意义的PF分量，循环处理至所有的PF分量分离出来，便可以得到原始信号的时频分布。对于任意信号x(t)，其分解过程如下［1］。

(1)确定原始信号所有的局部极值点ni，计算相邻两个极值点ni和ni+1的平均值mi:

将所有平均值点mi在其对应的极值点ni和ni+1间延伸成一条线段，然后用滑动平均法进行平滑处理，得到局部均值函数m11(t)。

(2)采用局部极值点ni计算局部幅值ai:

将所有局部幅值点ai在其对应的极值点ni和ni+1间延伸成一条线段，然后采用滑动平均法进行平滑处理，得到包络估计函数a11(t)。

(3)将局部均值函数m11(t)从原始信号x(t)中分离出来，即去掉了一个低频成分，得到:

(4)用h11(t)除以包络估计函数a11(t)以对h11(t)进行解调，得到:

对s11(t)重复上述步骤便能得到s11(t)的包络估计函数a12(t)，假如a12(t)不等于1，说明s11(t)不是一个纯调频信号，需要重复上述迭代过程n次，直至s1n(t)为一个纯调频信号，也即s1n(t)的包络估计函数a1(n+1)(t)=1，所以，有:

理论迭代终止的条件为:

(5)把迭代过程中产生的所有包络估计函数相乘便可以得到包络信号(瞬时幅值函数):

(6)将包络信号a1(t)和纯调频信号s1n(t)相乘便可以得到原始信号的第一个PF分量:

它包含了原始信号中最高的频率成分，是一个单分量的调幅-调频信号，其瞬时幅值就是包络信号a1(t)，其瞬时频率f1(t)则可由纯调频信号s1n(t)求出，即:

(7)将第一个PF分量PF1(t)从原始信号x(t)中分离出来，得到一个新的信号u1(t)，将u1(t)作为原始数据重复以上步骤，循环k次，直到uk为一个单调函数为止。

原始信号x(t)能够被所有的PF分量和uk重构，即:

将所有PF分量的瞬时幅值和瞬时频率组合便可以得到原始信号x(t)完整的时频分布。

2 PF分量迭代终止条件

由上述LMD分解算法知，每个PF分量都是通过多次迭代过程得到的，式(7)表示的是理论的迭代终止条件，由它所确定的PF分量的瞬时频率和瞬时幅值具有最准确的物理意义，并且各个PF分量之间具有正交性，最终分解结果也是完备的。但在LMD方法的实际运用中该迭代终止条件是不可能实现的［1］，因此需要另外确定一种合理的、可以实现的判据替代理论的迭代终止条件。EMD分解中“筛分”IMF分量的过程与PF分量的迭代过程类似，而在IMF分量的判据问题上，已有一些学者做了研究，如Huang等［4］提出了标准差判据(Standard deviation，SD)，即通过计算连续两次迭代结果的差值，并与预先确定的阈值进行比较，以此决定迭代的终止点;Rilling等［7］对SD判据进行了改进，提出了3-阈值判据(Three-threshold criterion);Xie等［8］从信号的频率和相位信息入手，提出了带宽判据(Bandwidth criterion，BC);Lin 等［6］根据 IMF 分量正交的特点，提出了正交性判据(Orthogonality criterion，OC)等，这些判据在EMD方法的实际运用中都取得了一定的效果。借鉴上述确定IMF分量的判据的思想，并根据PF分量的正交性质，将正交性判据OC引入了LMD方法中。

理论上每一个PF分量是一个单分量的调幅-调频信号，而LMD方法的实质就是将一个包含多种时间尺度特征的信号分解成有限个单分量的调幅-调频信号之和，其中每个单分量的调幅-调频信号代表了原信号中的一种时间尺度特征，因此不同PF分量之间是不相关的，也即正交的，即有下式成立:

但式(13)并不是严格准确的，这是由于LMD方法中局部均值函数和包络估计函数是通过平滑得到的，并不是信号真正的均值和包络值，再加上端点效应［9］的影响，不可避免地会发生能量泄漏现象，因此不可能具备严格的正交性质，也即式(13)的右边不可能等于0。但可以得出如果该值越接近于0，则说明PF分量的正交性越好，分解的效果也越好的结论。

根据以上PF分量的正交性质，将正交性判据OC引入LMD方法中作为PF分量的迭代终止判据，其定义如下:

3 应用

考察式(15)所示的仿真信号x(t)，它由两个调幅-调频分量组成，其时域波形如图1所示。

图1 仿真信号x(t)Fig.1 Simulated signal

图2 仿真信号x(t)的LMD分解结果Fig.2 The PFs of the simulated signal from LMD

引入正交索引参数(Index of orthogonality，IO)［10］评价LMD分解的整体的正交性，其表达式如下:

式中i，j=k+1时，表示分解得到的余量。理论上PF分量间如果完全正交，应该有IO=0，但由第2节分析知，实际中不可能完全正交。经计算上述仿真信号x(t)的分解结果的IO=0.002 1，很接近于0，几乎满足完全正交。另外x(t)分解前后的能量变化情况见表1，可以看出，总能量以及各个分量的能量分解前后几乎一致，体现了分解的完备性与正确性，说明了正交性判据是合理的。

表1 仿真信号x(t)分解前后能量的变化情况Tab.1 The energy change situation of simulated signal before and after decomposition

对于实际信号，选取了某内圈发生了局部损伤的滚动轴承故障振动加速度信号x(t)进行分析。轴承型号为6311，转频为20 Hz，采样频率为4 096 Hz，计算的理论故障特征频率为f0=99.2 Hz。x(t)的时域波形如图3所示。

图3 滚动轴承内圈故障振动信号x(t)Fig.3 The vibration signal of roller bearing with inner race defect

采用LMD方法对x(t)进行分解，并以正交性判据准则作为PF分量的迭代终止条件(采用自适应波形匹配延拓法［9］解决端点效应)。每迭代一次，计算OC的值，最终完全分解后得到7个PF分量和1个余量，如图4所示。每个PF分量的迭代次数以及OC值见表2。

图4 滚动轴承内圈故障振动信号x(t)的LMD分解结果Fig.4 The PFs of the vibration signal of roller bearing with inner race defect from LMD

表2 各个PF分量的迭代次数以及OC值Tab.2 Iterative times and OC value of each PF component

同样为了评价分解的效果，按式(16)计算本次分解的正交索引参数IO的值。经计算有IO=0.047 5，几乎满足完全正交。x(t)分解前后的能量对比情况见表3，其中Ex为信号x(t)的能量，Ei(i=1，2，…，7)为各个PF分量的能量，Eu7为余量的能量，E'x为7个PF分量与余量的能量之和，可以看出分解前后的能量差很小，体现了分解的完备性。进一步对前两个PF分量PF1(t)和PF2(t)的瞬时幅值a1(t)和a2(t)作频谱分析，结果如图5和图6所示。图5中，在内圈故障特征频率99.2 Hz处存在着明显的谱线，同时存在着转频的2倍频、3倍频成分;图6中也可以找到99.2 Hz的谱线，但主要成分是转频的2倍频。因此通过幅值谱可以判定轴承存在内圈局部故障，与实际情况相符。以上分析说明本次LMD分解结果是合理的，正交性判据是合适的。

表3 轴承故障振动信号x(t)分解前后能量变化的情况Tab.3 The energy change situation of the vibration signal with inner race defect before and after decomposition

标准差判据(Standard deviation，SD)是一种在EMD分解中得到广泛应用的判据准则，其定义如下:

其中hik(t)为求第i个IMF分量时的第k次“筛分”结果。对比EMD和LMD方法的理论可知，如果将式(17)中的hik(t)用hij(t)=Si(j-1)(t)-mij(t)替换，其中Si(j-1)(t)为分解第i个PF分量时的第j-1次迭代结果，mij(t)为Si(j-1)(t)的局部均值函数，便可以得到LMD方法中的SD判据。为了与OC判据进行比较，将SD判据同样应用于图3所示的滚动轴承故障振动信号，最终分解得到了7个PF分量和1个余量，如图7所示。对比图4分解效果没有很大差别。图8为第一个PF分量PF1(t)的幅值谱，同样能找到内圈故障特征频率。但是进一步计算了本次分解的正交索引值为IO=0.085 3，以及能量值见表4，可以看出IO值和分解前后的能量差值都要比采用OC判据分解时的大，说明从总体上分析采用SD判据分解时的正交性和完备性都不如OC判据好。另外各个PF分量的迭代次数见表5，其值明显要大于采用OC判据分解时的情况，说明计算效率OC判据较SD判据高。

表4 轴承故障振动信号x(t)分解前后能量变化的情况Tab.4 The energy change situation of the vibration signal with inner race defect before and after decomposition

表5 各个PF分量的迭代次数Tab.5 Iterative times of each PF component

4 结论

利用PF分量的正交性质，将正交性判据OC引入到LMD方法中，解决了LMD方法中PF分量的判据问题。通过对仿真信号和实际信号的分析，结果表明该判据不但充分保证了LMD分解的正交性质，而且稳定性好、收敛速度快，得到的分解结果具有真实的物理意义并且是完备的，这对LMD方法的工程实际应用是非常有意义的。但值得提出的是，由于平滑步长会对局部均值函数和包络估计函数的形状造成影响，因此势必会影响到该判据的值，而影响的规律如何，这需要做进一步研究。

［1］Smith J S.The local mean decomposition and its application to EEG perception data［J］.Journal of the Royal Society Interface，2005，2(5):443-454.

［2］Boashash B.Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal-part 1:Fundamentals［J］.Proc.IEEE，1992，80(4):520-538.

［3］程军圣，杨 宇，于德介.局部均值分解方法及其在齿轮故障诊断中的应用［J］.振动工程学报，2009，22(1):76-84.

［4］Huang N E，Shen Z，Long S R，et al.The empirical mode decomposition and the hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time series analysis［J］.Proc.R.Soc.Lond.A，1998，454:903-995.

［5］ Wu Z，Huang N E.Ensemble empirical mode decomposition:a noise-assisted data analysis method［J］.Advances in Adaptive Data Analysis，2009，1(1):1-41.

［6］Li L，Ji H B.Signal feature extraction based on an improved EMD method［J］.Measurement，2009，42:796-803.

［7］Rilling G，Flandrin P，Goncalves P.On empirical mode decomposition and its algorithms［C］.Proceedings of IEEE EURASIP Workshop on NonlinearSignaland Image Processing.Grado，Italy，2003.

［8］Xie Q W，Xuan B，Li J P，et al.EMD algorithm based on bandwidth and the application on one economic data analysis［C］. European Signal Processing Conference，Poznan，Poland，2007:2419-2423.

［9］张 亢，程军圣，杨 宇.基于自适应波形匹配延拓的局部均值分解端点效应处理方法［J］.中国机械工程，2010，21(4):457-462.

［10］邱绵浩，刘 菁，丛 华.基于B样条插值曲线直接筛选的EMD及其在机械振动信号处理中的应用［J］.装甲兵工程学院学报，2007，21(3):29-33.