从高校自主招生试题看数列极限

●徐国君 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)

从高校自主招生试题看数列极限

●徐国君 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)

数列问题融计算、推理于一体，综合性与灵活性都很强．数列问题的基础是等差数列、等比数列，热点是递推(递归)数列(等差数列、等比数列也是一类简单的递推数列)．问题的形式有求值、求通项、求和以及讨论数列的单调性、周期性、有界性、整除性等．而数列极限问题往往是数列综合问题，并且是和高等数学联系最为紧密的知识模块之一，因而成为高校自主招生考试的重点内容之一．本文将结合高校的自主招生试题谈谈数列极限方面的一些浅显见解，供同行参考．

1 高校自主招生试题中出现的数列极限的内容要点

1．1 3个最基本的极限

1．2 数列极限的四则运算

推广上面法则可以推广到有限多个数列的情况．例如，若{an}，{bn}，{cn}有极限，则

1．3 无穷数列各项的和

(1)无穷递缩等比数列各项的和．

当公比|q|＜1时，无穷等比数列{an}称为无穷递缩等比数列．

1．4 求数列极限的方法与基本类型

(1)求数列极限的基本思路．

求和—变形—求解，而在求解前应先化为3个基本的极限形式．

(2)常见的几类数列极限的类型和方法．

2 高校自主招生真题链接

分析利用n的任意性，设法消去b，先找出an－1，an与 an+1间的递推关系式．

解(1)由条件得

评注本题求解的关键是利用特征方程求数列通项的思想方法．

3 反思与认识

随着高校自主招生的日益普及，其自主性也大大增加，近几年还出现了高校联盟招生，其规模日益扩大，参与的学生人数也日益增加，有着“小高考”之称．随着竞争的加剧，学生在准备自主招生中投入的精力也在增加．如何帮助优秀学生在准备高考之余能够比较自如地参与高校自主招生考试，提高其成功率，是当今社会赋予我们一线教师的一项新的历史使命．只有多钻研、多思考、多总结才能把握高校自主招生的命题特点，有针对性地给学生进行相应的辅导和指导，才能取得事半功倍的效果．譬如数列极限内容，虽然高考基本不做要求，但是在当今自主招生中却屡屡出现，因此，在平时教学中有必要适当渗透极限思想，并在课余时间对优秀学生适时加以指导．