从一道课本例题谈如何提高课堂的有效教学

●张 云 (安吉县杭垓中学 浙江安吉 313305)

从一道课本例题谈如何提高课堂的有效教学

●张 云 (安吉县杭垓中学 浙江安吉 313305)

有效课堂教学是指教师以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能好的教学效果，从而达到教学目标．本文通过一道课本例题与一类中考题的关系，谈谈如何提高课堂教学的有效性．

例1如图1，在△ABC中，AD为边BC上的高，四边形EFGH为它的内接正方形，如果BC=120 cm，AD=80 cm，求正方形EFGH的面积．

拓展四边形EFGH为△ABC的内接矩形，AD为BC边上的高，且BC=120 cm，AD=80 cm，设EH=x cm，矩形EFGH的面积为y cm2．

(1)求y与x的函数关系式;

(2)当x为何值时，y有最大值，且最大值为多少?

以上2个问题是学习相似三角形与二次函数知识时的经典问题，各种版本的教材上都有涉及．由此，很多命题者就以此为线索寻求新的创意与变化，从而获得很多精彩的中考题．

图1

图2

变例1如图2所示，在平面直角坐标系中，函数y=x，y= －x+6的图像交于点A，动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S．

(1)求点A的坐标．

(2)试求点P在线段OA上运动时，S与运动时间t(秒)的关系式．

(3)在第(2)小题的条件下，S是否有最大值?若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值;若没有，请说明理由．

(4)显然，当点P经过点A后继续按原方向、原速度运动时，重叠部分的最大面积即为△AOB的面积，于是问题就变为:当t为何值时，正方形正好将△AOB覆盖．显然这时t=12，故t满足的条件为 t≥12

评析本题的新颖之处就在于把基本图形置于一次函数的背景中，这样函数问题与几何问题就有机地结合起来．并且随着点P的运动，正方形PQMN与△OAB重叠部分的图形将发生改变，不知不觉中分类讨论思想就渗透其中，于是问题变得生动起来．第4小题的设置是本题的亮点，它对学生的想象能力与基本数学素养有良好的考查功能．

变例2如图3，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为边AB上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x(0＜x＜6)，以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y(点A关于DE的对称点A'落在AH所在的直线上)．

(1)分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式;

(2)当x取何值时，y的值最大?最大值是多

少?

评析本题的编制独辟蹊径，把问题原型与轴对称变换巧妙结合起来．随着点D的运动，重叠部分的图形就在三角形与梯形之间变化，这样考查基本数学方法与数学思维能力的目的就凸显出来了．

图3

图4

变例3如图4，△ABC的高AD为3，BC为4，直线EF∥BC，交线段AB于点E，交线段AC于点F，交AD于点G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF(点P与点A在直线EF的异侧)．设EF为x，△PEF与四边形BCEF重合部分的面积为y．

(1)求线段AG(用x表示);

(2)求y与x的函数关系式，并求x的取值范围．

(2008年辽宁省大连市数学中考试题)

评析本题与变例2有异曲同工之妙，可以说是变例2的改进，但思维的价值更高．源于△PEF不像例2直接翻折下来那么直观，而是通过学生自己画图，结合图形的性质研究分类的范围，思维的含量无疑比变例2大了许多．

变例4如图5，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M 是 AB上的动点(不与点 A，B 重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x．

(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;

(2)当x为何值时，⊙O与直线BC相切?

(3)在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少?

(2008年山东省数学中考试题)

图5

图6

(2)如图6，设直线BC与⊙O相切于点D，连结 AO，OD，则

②当2＜x＜4时，重合部分为梯形．设MP，NP分别交BC于点E，F．这时，梯形面积可以用平行四边形BMNF的面积减去△BME的面积而得．易

评析本题明显借鉴了变例2的构思，但却巧妙地把圆的相关知识渗透其中，使知识的覆盖面更广，考查也更全面，对学生的能力要求也更高．唯一不足的是，第(2)小题与第(3)小题之间没有丝毫联系，使学生解答时转弯过多，且容易造成学生的误解，使试题的效度降低．因此，笔者认为如果能与变例3的设计结合起来，即在圆中不是构造内接矩形，而是构造以MN为斜边的等腰直角△MNP，这样第(2)小题和第(3)小题就有机地结合起来，效果可能会更好．

以上4例由于命题者的想法不同而呈现各自的特点，但最后却都回归到本源性问题，充分体现了课本例题的基础性与重要性．

多年的教学实践证明，坚持“例题—分析—解答—变式—演练—点拨”模式进行例题教学，往往会收到事半功倍的效果．