宁波市高中青年数学教师“说题”大赛试题评析

●张振继 (宁波万里国际学校 浙江宁波 315040)

宁波市高中青年数学教师“说题”大赛试题评析

●张振继 (宁波万里国际学校 浙江宁波 315040)

2010年10月26日，浙江省宁波市举行城区高中青年数学教师“说题”比赛，此种形式的比赛在宁波历史上还是第一次．本文就“说题”中的几道试题进行评析，供教学时参考．

本次活动共分3组，每组4人，一共有12人参加，第1～4人说第1题，第5～8人说第2题，第9～12人说第3题．每人给出思考准备时间15分钟，“说题”时间15分钟．以下笔者逐题进行分析．

题1 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:

(1995年全国数学高考文科试题)

命题立意本题考查等比数列的前n项和公式、对数函数的单调性及不等式的证明方法，属于中等难度的题目．

本题还可以用数学归纳法(探究)，这里略．

题目点评在利用等比数列前n项和公式求解时，应注意对公比q进行分类讨论．但如果利用和数列{Sn}之间的递推关系，那么便可回避分类讨论，优化解题过程．

一般地，在等比数列{an}中，前n项和为

成立，并证明你的结论．

(1995年全国数学高考理科试题)

题2设二次函数f(x)=ax2－2x－2a(a∈R，a≠0)，若集合A={x|f(x)＞0}，集合 B={x|1＜x＜3}，满足A∩B≠φ，求a的取值范围．

命题立意本题考查二次函数、不等式的解集、集合语言之间的转换，属于难题．

思路分析直接利用A∩B≠φ，或从反面入手求解．

解法探究若通过求不等式f(x)＞0的解集来求解，由于含有参数，则讨论起来比较复杂．

解法1(直接法)由A∩B≠φ，得存在x∈(1，3)，使得 f(x) ＞0有解(解集非空)．

(1)当a＞0时，结合二次函数的图像得

解法2(间接法)由 A∩B=φ，得当x∈(1，3)时，不等式f(x)≤0恒成立．

题目点评本题通过解不等式f(x)＞0的解集求解，计算量大而复杂，难度较大．若充分利用数形结合思想，则可以化难为易;另外利用补集思想处理，比较理想，值得回味与深思．

相关链接:

1．已知集合 A={x|－8≤x≤6}，B={x|x≤m}，若 A∪B≠B，且 A∩B≠φ，则 m 的取值范围是＿＿．

(2005年全国“希望杯”邀请赛高一试题)

2．设函数f(x)=ax2－2x+2 对任意x∈(1，4)都有f(x)＞0成立，求实数a的取值范围．

题3已知直线l是圆x2+y2=1的一条切线，它与抛物线y=x2－4交于点A，B，P为抛物线的顶点，求△PAB重心G的纵坐标的取值范围．

命题立意本题考查直线与圆相切、直线与抛物线相交的基础知识，以及数形结合思想、方程函数思想．

思路分析设出点A，B的坐标，将重心G的纵坐标表示为点A，B横(纵)坐标的函数，然后通过求最值解决．

解法探究 解法1设直线l的方程为y=kx+b(k不存在时不符合题意)．因为l是圆x2+y2=1的一条切线，所以

下仿照解法1解之，这里略．

题目点评本题入手容易，关键是进行函数建模，即将重心G的纵坐标表示为点A，B横(纵)坐标的函数，然后利用直线与圆相切、直线与抛物线相交、联立方程组等知识加以解决．

相关链接:

已知点A(0，2)和抛物线y2=x+4上2个点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．

(2002年全国数学联合竞赛试题)