美国中学生数学水准如何——也谈二阶递归数列

九头鸟茶楼常客 万尔遐

美国中学生数学水准如何
——也谈二阶递归数列

九头鸟茶楼常客 万尔遐

1 爱数学不分初与高

美国中学数学教学的水平如何?在国内有很多传说，其中有:美国中学数学水平很低，有许多中学生甚至不会乘法口诀.

对于此说，我一直持怀疑态度.因此我在美国期间，特别留心与美国中学生接触.

这天我到德州大学徐步高教授家中作客，遇上一个机会，他家的老二叫丽丽的正在德州中学上美国的初中二年级.

谈话间，发现丽丽的数学水平不凡，比如她谈到数列求和问题.这在中国应该是高中学段的数学内容.

为进一步了解她的水平，我当场口述了一个题目:

有个无穷数列，它的第一项是1，第二项是3，第三项是第二项与第一项的差即是2;第四项是第三项与第二项的差即是－1.就这样下去，以后每一项都是前1项与前2项的差.试求这个数列前100项的和.

席间无纸墨，显然要靠心算口述.

不到3分钟，丽丽脱口说出:答案是5，就是这个无穷数列前4个数的和!

全场惊讶，因为这道题出自1985年美国高中数学竞赛.

这岂不是说，丽丽这个初中生已经跨越了学段，达到了高中数学水平吗!

我笑着说:有其父必有其女!

丽丽的父亲，今天的徐教授曾是万老师的启蒙学生，在当年的数学竞赛中曾多次夺得冠军.丽丽更出语惊人，她说她爸爸的数学“不怎么样”!我们听了更是高兴，由此可知丽丽现在的数学水平.

2 爱数学 不分师与生

我问丽丽:课堂上，老师讲过这样的数列没有?

答:课堂上没有讲过，但我们在课外知道了这样的数列.

问:在课外什么地方知道的?

答:校内、外有各种数学活动，包括数学讲演，数学谜宫，还有数学比赛等等.

问:是谁组织的?

答:是我们这些喜欢数学的同学自己组织的，有时也有老师参加.其实，老师知道的并不比我们多!

问:老师知道的并不比你们多!你能举个例子吗?

答:例子吗?比如您前面说的那个数列——

有个无穷数列，它的第一项是a，第二项是b，第三项是第二项与第一项的差即是b－a;第四项是第三项与第二项的差即是－a.就这样下去，以后每一项都是前1项与前2项的差.试求这个数列前120项的和.

老师问，需要计算器吗?我们笑了:不需要计算器，可以看出答案是0!

问:怎么看出答案是0的?

答:你看，第四项－a已经是第一项a的相反数了，那么第五项就应该是第二项的相反数－b，第六项就应该是第三项的相反数a－b.

于是，这个数列前6项和就是0，前120项的和当然也是0!

问:啊呀，我算服了你们，我也服了你们的那位老师，因为“他知道的并不比你们多!”你既然这样喜欢数学，那么将来想去干什么，将来想当数学家吗?

答:没有想这些，现在只知道数学很好玩.

……

回国之后，面对我国中学生数学学习的“盛况”，不禁自问:

那些夜以继日备课上课的教师们，为什么那样乐于替代学生学习?

3 初中生能解的高考题

我国的许多高考题，实际上是初中问题，比如下面的这道高考题:

定义在R上的函数f(x)满足

这本来是道数列问题，高考出题人为了增加考题难度，人为地扯到了“函数问题”.

按“美国初二学生丽丽”叙述问题的方式，则是:

有个无穷数列，它的第一项是1，第二项是0，第三项是第二项与第一项的差;第四项是第三项与第二项的差即是－1.就这样下去，以后每一项都是前1项与前2项的差.试求这个数列的第2011项.

按“美国初二学生丽丽”解决问题的方法，则是:

2011=6×335+1

所以，第2011项 =第1项 =1.即中国考题答案f(2009)=1.

华罗庚先生说:神奇化易是良训，易化神奇不足提!

而我国当前的高考命题，经常干出这种“易化神奇”的勾当.比如上面的这道高考出题，就在这样地“易化神奇”:

在出题人看来，把简单表示成复杂，就是难度;能把整数1和0用对数式表示，就能体现高中数学水平!

4 初中生能解的高赛题

赛题 一列整数a1，a2，a3，……，对每个n等于或大于3 都有 an=an－1－ an－2，若该数列的前 1492 项的和为1985，前1985项的和为1492，那么前2001项的和是多少?

这是美国的一道数赛题目，不分初中高中.在中国，有许多数赛培训教材引进了这道题目，并研究出许多让初中生、高中生也看不懂的解法，如什么“特征根法”或“复数通项法”.

“初二学生丽丽”虽然不知道这些“妙法”，但我相信，她能轻松地解答此题，因为她很会加、减法!

略解 设第一项a，第二项b，则第三项为b－a;而第四项到第六项依次为前三项的相反数，所以S6=0.

我体会到:美国数赛，重在活动;中国数赛，重在功利!

美国数学竞赛的教材，比较重视数学过程，重视问题的提出;中国数学竞赛的教材，比较重视结果，重视问题的解答.

比如上面这道数学竞赛题，在美国看到的相关材料是:这个问题是怎么产生的?我能发现这个问题吗?我还能想到什么问题?

而在中国看到的相关材料是:这个问题是怎么解答的?我能解答这个问题吗?我还能想到什么更妙的解法?

于是，在相关的教材上，出现了对此题的各式各样的奇妙解法.比如:

慢说是初中生，就是没有经过专门训练的普通高中生走到这里，也只能望而止步了.数学竞赛在中国已经成了职业赛，与大众无缘!

20110523)