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美国中学生数学水准如何——也谈二阶递归数列

2011-02-01九头鸟茶楼常客万尔遐

中学数学杂志 2011年12期
关键词:丽丽竞赛初中生

九头鸟茶楼常客 万尔遐

美国中学生数学水准如何
——也谈二阶递归数列

九头鸟茶楼常客 万尔遐

1 爱数学不分初与高

美国中学数学教学的水平如何?在国内有很多传说,其中有:美国中学数学水平很低,有许多中学生甚至不会乘法口诀.

对于此说,我一直持怀疑态度.因此我在美国期间,特别留心与美国中学生接触.

这天我到德州大学徐步高教授家中作客,遇上一个机会,他家的老二叫丽丽的正在德州中学上美国的初中二年级.

谈话间,发现丽丽的数学水平不凡,比如她谈到数列求和问题.这在中国应该是高中学段的数学内容.

为进一步了解她的水平,我当场口述了一个题目:

有个无穷数列,它的第一项是1,第二项是3,第三项是第二项与第一项的差即是2;第四项是第三项与第二项的差即是-1.就这样下去,以后每一项都是前1项与前2项的差.试求这个数列前100项的和.

席间无纸墨,显然要靠心算口述.

不到3分钟,丽丽脱口说出:答案是5,就是这个无穷数列前4个数的和!

全场惊讶,因为这道题出自1985年美国高中数学竞赛.

这岂不是说,丽丽这个初中生已经跨越了学段,达到了高中数学水平吗!

我笑着说:有其父必有其女!

丽丽的父亲,今天的徐教授曾是万老师的启蒙学生,在当年的数学竞赛中曾多次夺得冠军.丽丽更出语惊人,她说她爸爸的数学“不怎么样”!我们听了更是高兴,由此可知丽丽现在的数学水平.

2 爱数学 不分师与生

我问丽丽:课堂上,老师讲过这样的数列没有?

答:课堂上没有讲过,但我们在课外知道了这样的数列.

问:在课外什么地方知道的?

答:校内、外有各种数学活动,包括数学讲演,数学谜宫,还有数学比赛等等.

问:是谁组织的?

答:是我们这些喜欢数学的同学自己组织的,有时也有老师参加.其实,老师知道的并不比我们多!

问:老师知道的并不比你们多!你能举个例子吗?

答:例子吗?比如您前面说的那个数列——

有个无穷数列,它的第一项是a,第二项是b,第三项是第二项与第一项的差即是b-a;第四项是第三项与第二项的差即是-a.就这样下去,以后每一项都是前1项与前2项的差.试求这个数列前120项的和.

老师问,需要计算器吗?我们笑了:不需要计算器,可以看出答案是0!

问:怎么看出答案是0的?

答:你看,第四项-a已经是第一项a的相反数了,那么第五项就应该是第二项的相反数-b,第六项就应该是第三项的相反数a-b.

于是,这个数列前6项和就是0,前120项的和当然也是0!

问:啊呀,我算服了你们,我也服了你们的那位老师,因为“他知道的并不比你们多!”你既然这样喜欢数学,那么将来想去干什么,将来想当数学家吗?

答:没有想这些,现在只知道数学很好玩.

……

回国之后,面对我国中学生数学学习的“盛况”,不禁自问:

那些夜以继日备课上课的教师们,为什么那样乐于替代学生学习?

3 初中生能解的高考题

我国的许多高考题,实际上是初中问题,比如下面的这道高考题:

定义在R上的函数f(x)满足

这本来是道数列问题,高考出题人为了增加考题难度,人为地扯到了“函数问题”.

按“美国初二学生丽丽”叙述问题的方式,则是:

有个无穷数列,它的第一项是1,第二项是0,第三项是第二项与第一项的差;第四项是第三项与第二项的差即是-1.就这样下去,以后每一项都是前1项与前2项的差.试求这个数列的第2011项.

按“美国初二学生丽丽”解决问题的方法,则是:

2011=6×335+1

所以,第2011项 =第1项 =1.即中国考题答案f(2009)=1.

华罗庚先生说:神奇化易是良训,易化神奇不足提!

而我国当前的高考命题,经常干出这种“易化神奇”的勾当.比如上面的这道高考出题,就在这样地“易化神奇”:

在出题人看来,把简单表示成复杂,就是难度;能把整数1和0用对数式表示,就能体现高中数学水平!

4 初中生能解的高赛题

赛题 一列整数a1,a2,a3,……,对每个n等于或大于3 都有 an=an-1- an-2,若该数列的前 1492 项的和为1985,前1985项的和为1492,那么前2001项的和是多少?

这是美国的一道数赛题目,不分初中高中.在中国,有许多数赛培训教材引进了这道题目,并研究出许多让初中生、高中生也看不懂的解法,如什么“特征根法”或“复数通项法”.

“初二学生丽丽”虽然不知道这些“妙法”,但我相信,她能轻松地解答此题,因为她很会加、减法!

略解 设第一项a,第二项b,则第三项为b-a;而第四项到第六项依次为前三项的相反数,所以S6=0.

我体会到:美国数赛,重在活动;中国数赛,重在功利!

美国数学竞赛的教材,比较重视数学过程,重视问题的提出;中国数学竞赛的教材,比较重视结果,重视问题的解答.

比如上面这道数学竞赛题,在美国看到的相关材料是:这个问题是怎么产生的?我能发现这个问题吗?我还能想到什么问题?

而在中国看到的相关材料是:这个问题是怎么解答的?我能解答这个问题吗?我还能想到什么更妙的解法?

于是,在相关的教材上,出现了对此题的各式各样的奇妙解法.比如:

慢说是初中生,就是没有经过专门训练的普通高中生走到这里,也只能望而止步了.数学竞赛在中国已经成了职业赛,与大众无缘!

20110523)

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