关于一个非齐次核的Hilbert型积分不等式

杨必成

(广东教育学院数学系，广州510303)

式中，常数因子π为最佳值.式(1)为分析学中的重要不等式，它的推广应用可参见文献［2-3］.注意到式(1)的核是-1齐次的，文献［4］系统综述了负数齐次核的参量化Hilbert型不等式的研究方法与研究成果.近年来，相关研究开始由齐次核转向非齐次核的不等式［5-9］，如文献［6］中得到的具有最佳常数因子的积分不等式，即

本研究应用权函数的方法，建立如下类似于式(2)的非齐次核的Hilbert型积分不等式：

证明 配方，并由Hölder不等式［11］，得

这里，定义如下权函数：

再代入ω(x)的值，式(4)得证.

证明 若有y＞0，使式(5)等号成立，则有不全为0的常数A，B，使

对式(11)两边取p次方，可证得式(8)成立，且式(8)与式(7)等价.证毕.

证明 任0＜ε＜qα，设

由Fatou引理［12］，易得

定理3 若0＜p＜1，其他条件同定理1所述，则式(7)与(8)的逆向等价式成立，且相应的常数因子仍为最佳值.

证明 证法与定理1、定理2类似，先由逆向的Hölder不等式［11］，可得式(4)及(9)的逆式成立.由此易得式(8)的逆式成立，再将其代入式(9)的逆式，可得式(7)的逆式成立.反之，设有式(7)的逆式成立，置与定理1同样的g(y)，则由式(4)的逆式知，J＞0.若J=∞，则式(8)的逆式显然成立;若J＜∞，则由式(7)的逆式，易得式(10)及(11)的逆式成立，故有式(8)的逆式成立，且其与式(7)的逆式等价.

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