关于x-t图像坐标意义的探讨

唐建勋

(无锡市辅仁高级中学 江苏 无锡 214123)

x-t图像(教材中的正式称谓是位移-时间图像)，是高一物理“运动的描述”和“匀变速直线运动的研究”两章中十分重要的知识点.无论是老版人教社教材还是新版普通高中物理课程标准实验教科书，该知识点都属于学生必须掌握的A级内容.该图像对于帮助学生理解物体直线运动的规律有着极其重要的作用.但是笔者却在教学和使用教材的过程中发现关于x-t图像坐标意义的矛盾之处，笔者认为将x-t图像称为位移-时间图像，将纵坐标的意义归属于位移的做法有待商榷.

图1

众所周知，当建立起一个直角坐标系时，该坐标系中的任意一点都反映了纵坐标所代表的因变量随横坐标所代表的自变量变化的对应关系.如果将大量的坐标点在坐标系中标出，并将这些点用曲线连接，就能通过曲线的形状反映因变量随自变量变化的函数关系.同样道理，x-t图像以x(暂且认为是位移)为因变量，以时间t为自变量；图像所反映出来的也应该是x随t变化的函数关系.但是若在x-t图像中取任意一点P,如图1所示，P点代表的是x0与t0的对应关系，其中t0代表的是某一时刻，那么x0代表该时刻物体的位移吗？从教材本身对位移概念的阐述来看，答案是否定的.

根据教材对于位移的定义(人教版高中物理课程标准实验教科书《物理·必修1》第13页)，“位移是表示物体位置变化的物理量” ，可知，位移反映了物体在某段时间内从初始位置到终点位置的变化情况，说明位移是物体从一个位置运动到另一个位置的过程中发生的，应该是一个过程量.既然位移是过程量，那么对应的应该是某一段时间间隔.但是在x-t图像中,P点横坐标所代表的却是时间轴上的某一时刻，而时刻对应的必定是状态量，因此如何能用横坐标代表的某一时刻来对应纵坐标所代表的某过程的位移呢？这样的对应违反过程量与状态量本身的定义，所以P点纵坐标的意义归结为位移实为不妥，但令人遗憾的是教材始终没有注意到这一点.

再看教材，在人教版高中物理课程标准实验教科书《物理·必修1》第40页上提到“……图描述了物体对于出发点的位移随时间的变化情况，这个图像称为位移-时间图像.”教材中提到的“对于出发点的位移”就是位移吗？能够用位移代替x-t图像的纵坐标的意义吗？大学普通物理教材中研究质点运动时引入了表示物体位置的物理量——位置矢量r(也称位矢或矢径), 位矢是表示质点在空间的位置的矢量，位矢是从坐标原点O指向质点所在处P的有向线段[1]，可以表达如下

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

由表达式可以发现，位矢是由时间所对应的一个状态函数，应该是一个状态量.在高中阶段研究直线运动时，由于所讨论的空间是一维的，所以位矢表示为

r=x(t)

方向可以根据所规定正方向加正负号来确定.

基于上面的分析不难发现，所谓“对于出发点的位移”其实并非位移，真正所指应该是位矢.

同样的问题在人教版高中物理课程标准实验教科书《物理·选修3-4》“机械振动”一章中又被提及，“为了研究弹簧振子的运动规律，我们以振子的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴……两个坐标轴分别代表时间t和小球位移x，因此它就是小球在平衡位置附近往复运动时的位移-时间图像，即x-t图像.”除了现在所使用的教材， 在各年度使用的教材中，这一章内容都或多或少、或明或暗提到了本章中的“位移”特指振动质点相对于平衡位置的位移，而这些所谓的“位移”实质上也都是位矢.

位矢与位移是有区别的，位矢是某时刻相对坐标原点的位置矢量，而位移是在某一段时间过程内相对初始位置的位置变化矢量.对于相对静止的不同坐标系来说，位矢依赖于坐标系的选择，而位移则与所选取的坐标系无关.若取初始位置为坐标原点才能够使两者一致，但也仅仅是大小的相等和方向的相同，其本质意义还是有差别的，因为位矢是随时间t变化的状态函数，所以位矢对应的是某一时刻，而位移对应的则是某段时间间隔，其实它们的关系在教材中已经被提到了. 在人教版高中物理课程标准实验教科书《物理·必修1》第14页写道:物体在时刻t1处于位置x1，在时刻t2处于位置x2，那么物体的位移等于两个位置的坐标变化，即

Δx=x2-x1

在力学教材中位移的表达式如下

Δr=r(t+Δt)-r(t)

在一维空间里表达式则变为 Δx=x2-x1

对照上面的分析可以发现，高中教材中所提到的位置x1和x2就是一维空间里的位矢，而Δx即位矢的变化才是位移.

通过上述分析，笔者认为x-t图像的纵坐标x应该是位矢而不是位移;纵坐标必须赋予位矢的意义才能使x-t图像纵坐标的状态量和横坐标的时刻一一对应起来，才能将x-t图像斜率就是物体速度这一结论解释得更加滴水不漏.

但令笔者感到困惑不已的是，通过解读人教版高中物理课程标准实验教科书《物理·必修1》第14页的内容，发现教材的编者已经注意到了介绍位矢和位移的区别与联系；但是在人教版高中物理课程标准实验教科书《物理》从高一到高三各册中，编者始终没有明确指出位矢概念与位移概念的区别；在对x-t图像的认识上，也是始终统称为位移-时间图像.这明明是科学性错误，为何教材的编者始终没有纠正？笔者姑且认为是教材的编者过多地考虑到高中生认知能力的局限性，担心高一学生刚接触矢量概念，本身位移的概念已经打破了学生对于物理量认识的常规，若是再来一个和位移概念相近的位矢概念，学生可能会在这两个概念的理解上出现模糊和混淆，于是索性用“相对于原点的位移”来替换位矢.诚然，这样的做法符合对于科学的认识应该呈螺旋形上升的趋势的做法，在初学某理论时可以用虽然略有科学性错误,但对初学者而言却是更浅显易懂的方法来阐述，以后可以再逐渐详细讨论.可是笔者通过教学实践却发现情况并非如此.

图2

首先，常会遇到这样的问题：甲、乙两个物体相对于同一参考系的x-t图像如图2所示，下列说法正确的是

A.甲、乙两物体的运动快慢相同

B.甲、乙两物体由同一地点出发

C.t1时刻甲、乙两物体位移相等

D.t1时刻甲、乙两物体在同一位置

在该题目中，学生对于选项C,D的认识存在困难，因为教师平时在课堂上所讲的位移概念都是有初末位置对应的，而选项C中突然问学生某时刻的位移，学生往往对此无所适从，教师不得不告知学生此位移特指相对于原点的位移，但学生又会疑惑，为什么要硬性规定相对于原点呢？尤其是乙的位移为何不是相对于初始位置而是非要相对于原点呢？其实出题者的本意问的就是t1时刻甲、乙两物体的位矢是否相等，若教师能够介绍位矢概念，明确x-t图像的纵坐标x是位矢的话，学生就不难理解C,D选项均是正确的.但是教师若过多纠缠于将位矢自圆其说成位移的话，会引发很多问题;这就种下了学生概念理解上的潜在危险.所以教材的编者虽然想用“相对于原点的位移”来淡化位矢概念，但结果却适得其反，学生反而会在x-t图像的认识上产生混淆.

其次，笔者通过在教学实践的尝试中发现，索性揭开位矢的神秘面纱，将位移和位矢概念加以区别，只要将位矢r的概念在一维情况下简化为位置x;再根据正方向赋予正、负号，表示位置的方向，结合教材中所提及的位移Δx=x2-x1，学生还是能够轻松接受位矢概念的.有了位矢概念的基础，学生就不难理解x-t图像的纵坐标应该表示位置，x-t图像应该称为位置-时间图像，学生对于位移的概念反而更加清晰，对x-t图像的应用掌握得更加扎实.

综上所述，笔者建议在教材中应介绍位矢概念;在一维情况下可用坐标轴位置来体现，摒弃“某时刻的位移”和“相对于原点的位移”的称法，用位矢(位置)来替代，将x-t图像的称谓由“位移-时间图像”改为“位置-时间图像”.

参考文献

1 漆安慎，杜婵英.力学基础.北京：高等教育出版社，1997.31