pk元域上的二次方程与三次方程

孙宗明

(泰山学院数学与系统科学学院，山东泰安 271021)

设F是一个pk元域，关于F上的二次方程与三次方程，对已有的研究成果进行综述，并给出这一课题研究步步深入的过程，同时，综述F的单超越扩域E上的二次方程的结果以及F上的三项方程的一些结果.本文中，0表示域的零元，e表示域的单位元.

1 F上的二次方程

笔者于1981年发表的第一篇数学文章［1］(也是首次公开发表的文章)，研究了素数模p(p≥3)的二次同余方程，得到下面的

定理1.1 设有ax2+bx+c≡0(modp)，a关于模p不为0，且素数p≥3，记△≡b2－4ac，m=(p－1)/2，则其根的状况为:

当p=2时，［1］没有彻底解决问题，实际上，有下面的

定理1.2 设有ax2+bx+c≡0(modp)，a关于模p不为0，且素数p=2，当b关于模p不为0时取d，使bd≡1(modp)，记△=acd2，则其根的状况为:

实际上，素数p为模的二次同余方程就是p元域Fp上的二次方程，于是，就有下面的

定理1.3 设有p元域Fp上的二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，p≥3，△=b2－4ac，m=(p－1)/2，则其在Fp中的根的状况是:

1)在Fp中有两个不同的根△m=e;

2)在Fp中有两个相同的根△m=0;

3)在Fp中没有根△m=－e.

定理1.4 设有p元域或Fp上的二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，p=2，则其在Fp中的根的状况是:

1)在Fp中有两个不同的根b≠0且acb－2=0;

2)在Fp中有两个相同的根b=0;

3)在Fp中没有根b≠0且acb－2=e.

笔者在1980年写成的［2］于1983年发表，得到下面的

定理1.5 设有F上的二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，p≥3，△=b2－4ac，m=(pk－1)/2，则其在F中的根的状况是:

［2］没有彻底解决p=2的情况，［2］发表后，上海交通大学沈灏先生来信给笔者，讨论［2］中所遗留的p=2的有关问题，至1984年，沈灏先生来信告诉笔者，他的学生完整地解决了p=2的情况，就是于1986年发表的［3］，给出了下面的

定理1.6 设有F上的二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，p=2，当b≠0时，设β=acb－2，Tk(β)=，则其在F中的根的状况是:

2 F上的三次方程

武汉大学宋雪清以笔者的［2］为参考文献写成［4］，研究p＞3时F上的三次方程，于1986年发表;对于［4］中的遗留问题，湛江师范学院李庆写成［5］，于1990年发表，从而彻底地解决了p＞3的情况;笔者以［4］与［5］为参考文献写成［6］，于1993年发表，解决了p=2的情况;按照［6］的模式，笔者将［4］与［5］进行整理加工而写成［7］.

先研究p＞3的情况，有如下的定理2.1与定理2.2以及为证明定理作准备的6条结论，下面按［7］列出.

二者的根的状况相同，并且，相应的根x0与y0有关系于是，研究F上的三次方程可以仅研究F上的方程x3+ax+b=0(a≠0，b≠0).

2)若y0，z0∈F是方程=0在F中的二个根，则可以使，并且，x0= y0+z0是方程x3+ax+b=0(a≠0，b≠0)在F中的根.

3)在F中，若

则有其中x0是方程x3+ax+b=0(a≠0，b≠0)在F中的一个根.

4)设m=(pk－1)/2，k为偶数，则(－3e)m=e.

5)设m=(pk－1)/2，k为奇数，则有:①当3|(pk－1)时，(－3e)m=e;②当3不整除pk－1时，(－3e)m=－e.

6)设d∈F，3|(pk－1)，n=(pk－1)/3，则dn只能是0，e，α，α2之一，其中α是F*中的一个3阶元素.

定理2.1 设3不整除pk－1，m=(pk－1)/2，△=，则F上的方程x3+ax+b=0(a≠0，b≠ 0)在F中的根的状况是:

1)△m=e当k为偶数时，其在F中有三个互异的根;当k为奇数时，其在F中有且仅有一个根;

2)△m=0其在F有一个单根与一个二重根;

3)△m=－e或其在F中没有根;或当k为偶数时，其在F中有且仅有一个根;或当k为奇数时，其在F中有三个互异的根.

定理2.2 设3|(pk－1)，m=(pk－1)/2，△，则F上的方程x3+ax+b=0(a≠0，b≠0)在 F中的根的状况是:

1)△m=e当==e时，其在F中的三个互异的根;当=α，=α2或=α2，=α时，其在F中没有根，其中△1，△2是方程=0在F中的两个不同的根，n=(pk－1)/3，α是F*中的一个3阶元素;

2)△m=0其在F有一个单根与一个二重根;

3)△m=－e当=e时，其在F中有且仅有一个根;当或，时，其在F中没有根，其中△1，△2是方程=0在F(ω)中的二个不同的根，ω2=△，n'=(p2k－1)/3，α是F*中的一个3阶元素.

再研究p=2的情况，有如下的定理2.3与定理2.4以及为证明定理作准备的6条结论，下面按［6］列出.

1)设x=y+c，则F上的方程x3+cx2+dx+f=0变为

二者的根的状况相同，并且，相应的根x0与y0有关系x0=y0+c.于是，研究F上的三次方程可以仅研究F上的方程x3+ax+b=0(a≠0).

2)若y0，z0∈F是X2+bX+a3=0在F中的两个根，则可以使x0y0=a，并且，x0=y0+z0是方程x3+ax+b=0(a≠0)在F中的根.

3)设△∈F，则有:①当3不整除2k－1时，y3=△在F中有唯一的根;②当3|(2k－1)时，y3=△在F中有根△n=e，并且，当有根时，若记一个根为y0，则三个互异的根是y0，αy0，α2y0，其中n=(2k－1)/3，α是F*中的一个3阶元素.

5)设3|(2k－1)，n=(2k－1)/3，若△1，△2是X2+bX+a3=0在F中的两个互异的根，则有且仅有下列三种情况:①==e;②=α，=α2;③=α2，=α，其中α是F*中的一个3阶元素.

6)若f(x)为F上的n次不可约多项式，δ为f(x)的一个根，则F关于f(x)的分裂域F(δ)对于F的次数为n，即(F(δ):F)=n，从而|f(δ)|=2nk.

定理2.3 设3不整除2k－1，则F上的方程x3+ax+b=0(a≠0)在F中的根的状况是:

1)当b=0时，其在F中有三个根x1=0，x2=x3=.

i)其在F中无根;

ii)其在F中有根，取其一个根记为x0，

定理2.4 设3|(2k－1)，n=(2k－1)/3，α是F*中的一个3阶元素，则F上的方程x3+ax+b=0 (a0)在F中的根的状况是:

1)当b=0时，其在F中有三个根x1=0，x2=x3=

对于p=3的情况，笔者与另外两位代数学同行写成［8］，于1995年发表，并且，笔者后来又写成［9］，于2001年发表，但是，尚未得到较满意的解决，有如下的定理2.5与定理2.6.

设F上的方程x3+ax2+bx+c=0()在F中有一个根d，而x=y+d，则可以转化为对方程y2+ay +(2ad+b)=0( )的讨论.

定理2.5 当方程( )在F中有根y0时，方程()在F中有根x0=y0+d.对于方程()在F中的又一个根f，且fd，则f－d是方程( )在F中的一个根.

定理2.6 设m=(pk－1)/2，则F上的方程x3+ax2+bx+c=0()在F中的根的状况是:

1)其在F中没有根.

2)其在F中有根，取其一根d，记△=a2－(2ad+b)，

i)当△m=0时，其在F中有一根d与二重根y0+d，其中y0为方程()在F中的二重根;

ii)当△m=e时，其在F中有三个互异的根d，y1+d，y2+d或有一根y2+d与二重根d，其中y1，y2为方程()在F中的二个互异的根;

iii)当△m=－e时，其在F中有一个根d.

3 E上的二次方程

设E是F的单超越扩域，由［10］知，F上的未定元的有理函数域F(x)与E同构，从而就记E= F(x).本款中，F的元素用a，b，c，…表示，E的元素用A，B，C，…表示;为方便，将单位元e记为1.对于E上的二次方程Ay2+By+C=0(A≠0)，笔者写成［11］，于1992年发表.对此，列出下面的6条结论及定理3.1与定理3.2.

1)设A∈E，n为正整数，若存在B∈E，使得Bn=A，则称A是E的一个n方元素.

2)E中的任一个非零元素A均可以写为A=f(x)/g(x)，其中f(x)，g(x)∈F［x］，且(f(x)，g(x)) =1，f(x)或g(x)的首相系数为1.

5)设n为正整数，A≠0，A∈E，则E上的方程yn=A在E中有根存在f1(x)，g1(x)∈F［x］，(f1(x)，g1(x))=1，f1(x)的首项系数为1，使得

6)设E的特征数p=2，而z2+z=f(x)/g(x)是E上的方程，其中f(x)，g(x)∈F［x］，(f(x)，g(x)) =1，g(x)的首项系数为1，则其在E上有两个不同的根存在f1(x)，g1(x)∈F［x］，(f1(x)，g1(x))= 1，g1(x)的首项系数为1，并且

定理3.1 设域E的特征数p≥3，Ay2+By+C=0(A≠0)是E上的二次方程，△=B2－4AC，则其在E中的根的状况是:

定理3.2 设域E的特征数p=2，Ay2+By+C=0(A≠0)是E上的二次方程，则其在E中的根的状况是:

4 二次方程的根的公式

对于2k元域F上的二次方程，笔者曾就一种情况得到根的表示公式，写成［12］，于2001年发表;后来，郑州解放军信息学院王念平进行了研究，写成［13］，于2004年发表;笔者认为，这一问题尚待进一步研究，此处从略.

5 二项方程

在［2］与［6］等文章中，已经讨论了方程y2=△与y3=△等，就一般情况而言，引导至F与E上的二项方程，笔者写成［14］，于2001年发表.

定理5.1 设s=(n，pk－1)，u=(pk－1)/s，xn=d(d≠0)是F上的二项方程，则其在F中的根的状况是:

2)其在F中有(n，pk－1)个单根du=e且p不整除n;

3)其在F中有(n，pk－1)组互异的pl重根du=e且pl|n但pl+1不整除n.

定理5.2 设s=(n，pk－1)，xn=D(D≠0)是E上的二项方程，则其在E中的根的状况是:

2)其在E中有(n，pk－1)个单根D是E的n方元素且p不整除n;

3)其在E中有(n，pk－1)组互异的pl重根D是E的n方元素且pl|n但pl+1不整除n.

6 三项方程

笔者的文章［2］发表后，上海交通大学沈灏先生来信给笔者，讨论［2］中所遗留的p=2的有关问题，至1984年，沈灏先生来信告诉笔者，他的学生完整地解决了p=2的情况，笔者根据信中的结果和文章［2］写成文章［15］，于1987年发表，给出了下面的定理6.1与定理6.2.

定理6.1 设有F上的一类2ps次方程

其中p≥3，s为非负整数，记

则其在F中的根的状况是:

1)其在F中有两组不同的ps重根△m=e;

2)其在F中有2ps重根△m=0;

定理6.2 设有F上的一类2ps次方程

Ω=acb－2，其中p=2，s为非负整数，则其在F中的根的状况是:

1)其在F中有两组不同的ps重根Tk(Ω)=0;

2)在F中有2ps重根b=0;

上面的方程就是一个三项方程，是由二次方程引发的一种方程，在研究的过程中要用到二次方程的结果.笔者继续研究F上的三项方程:对于异于p的素数q，研究了ax2q+bxq+c=0，写成［16］，于1990年发表;对于一般的正整数n，研究了ax2n+bxn+c=0，写成［17］，于1991年发表;但是，所得的结果较上面的定理6.1与定理6.2复杂得多，此处从略.

借助于F上的三项方程的结果，利用E上的二次方程和二项方程的结果，笔者研究了E上的三项方程Ay2n+Byn+C=0，写成［18］，于2000年发表，此处亦从略.

7 一类方程

笔者写成的［19］，借助于F上的二项方程的结果，研究了F上的一类方程，于1996年发表.后来，笔者又相继发表了［20－23］.

定理7.1 F上的方程

在F中的根的状况是:

2)其在F中有(n，pk－1)－1个单根(n，pk－1)≠1且p不整除n;

3)其在F中有(n，pk－1)组互异的重根，其中一组为pl－1重根a，而其余组(若还有的话)均为pl重根(n，pk－1)≠1，且pl|n但pl+1不整除n.

定理7.2 当n为偶数时，F上的方程

在F中的根的状况是:

2)其在F中有(n，pk－1)－1个单根(n，pk－1)≠1且p不整除n;

3)其在F中有(n，pk－1)组互异的重根，其中一组为pl－1重根－a，而其余组(若还有的话)均为pl重根(n，pk－1)≠1，且pl|n但pl+1不整除n.

定理7.3 当n为奇数时，F上的方程

在F中的根的状况是:

2)其在F中有(n，pk－1)－1个单根(n，pk－1)≠1且p不整除n;

3)其在F中有(n，pk－1)组互异的重根，其中一组为pl－1重根－a，而其余组(若还有的话)均为pl重根(n，pk－1)≠1，且pl|n但pl+1不整除n.

笔者借助于［23］写成［24］，研究了E上的一类方程，于2007年发表.

定理7.4 E上的方程

在E中的根的状况是:

2)其在E中有(n，pk－1)－1个互异的单根(n，pk－1)≠1且p不整除n;

3)其在E中有(n，pk－1)组互异的重根，其中一组为pl－1重根A，而其余组(若还有的话)均为pl重根(n，pk－1)≠1，且pl|n但pl+1不整除n.

定理7.5 当n为偶数时，E上的方程

在E中的根的状况是:

2)其在E中有(n，pk－1)－1个单根(n，pk－1)≠1且p不整除n;

3)其在E中有(n，pk－1)组互异的重根，其中一组为pl－1重根－A，而其余组(若还有的话)均为pl重根(n，pk－1)≠1，且pl|n但pl+1不整除n.

定理7.6 当n为奇数时，E上的方程

在E中的根的状况是:

2)其在E中有(n，pk－1)－1个单根(n，pk－1)≠1且p不整除n;

3)其在E中有(n，pk－1)组互异的重根，其中一组为pl－1重根－A，而其余组(若还有的话)均为pl重根(n，pk－1)≠1，且pl|n但pl+1不整除n.

8 某些方程

［25］与［26］研究了p2k元域Fq2(q=pk)上的方程xq+1=λ和x+xq=μ在Fq2中的根的状况以及Fq2上的方程在Fq2中的解的个数.

［27］研究了p元域Fp上的方程xp－x－a=0在Fp上的根的状况，后来，笔者又研究了pk元域F上的方程xps－x－a=0在F中的根的状况，写成［28］.

［29］研究了群中的方程xn=e的解的个数，此后，在上面所列的文献中，作为F上的方程研究了其在F中的根的状况，并多次用到该结论，［30］再次详细地研究了其在F中的根的状况.

［31］将［32］中关于数域上线性矩阵方程(组)的理论推到pk元域F上.

［33－40］就有限域上方程根的求法、不可约多项式、因式分解、n方元素等问题进行了一定的研究.

9 结束语

该文是一篇综述性的文章，此前，［41－44］也曾对有的问题作过综述.上面所述的8个方面的问题，有的已经彻底解决，有的尚有遗留的情况待解决，并且，一些已经得到的结论仍然可以优化.

在比较久远的古代，二次方程的求根公式就已经被埃及和巴比伦的先民们发现并记载，本文所列的第一篇文章，就是从实系数二次方程的实根的三种情况作类比而得到的，这种类比一直贯穿到F上的二次方程的研究之中.对有的读者而言，通过阅读二次方程的研究历程，能够得到一些数学科研的启发乃至训练.

在16世纪的一段时间里，寻找三次方程的求根公式成为意大利数学家们的热门问题，并流传下来一些动人的故事，求根公式终于被找到，从而促使人们向着四次和更高次的方程挺进，促进了代数学的发展，奠定了近代数学产生的直接基础.上文中的式子，不仅是求根公式的重要组成部分，而且是讨论实系数三次方程的实根状况的直接依据，当然，它在本文中也起了很大的作用，从而对于读者同样具有启发意义.

该文最后列出了44篇有关的参考文献，而笔者独立完成的有34篇，其中，被美国Math.Riews评述5篇，另列入索引2篇，说明有的论文具有一定的学术水平.长时间(30年)以来，该文所述的若干问题是笔者最先提出并发表研究结果的，从而引起有的代数学同行的关注和参与，因此，成为笔者的代数学研究的主要方向之一.

［1］孙宗明.质数模的二次同余式的根的状况［J］.曲阜师范学报(自然科学版)，1981，(2):43－44.

［2］孙宗明.pk(p≥3)元域上的二次方程的根的状况［J］.数学的实践与认识，1983，(4):29－31(美国，Math.Riews，85i:11104).

［3］唐俊杰.有限域GF(2m)上的二次方程根的判别［J］.数学的实践与认识，1986，(2):57－59.

［4］宋雪清.pk(p＞3)元域上的三次方程［J］.数学的实践与认识，1986，(4):33－38.

［5］李庆.关于pk(p＞3)元域上的三次方程的一个注记［J］.数学的实践与认识，1990，(2):75－77.

［6］孙宗明.2k元域上的三次方程根的状况［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，1993，(2):21－26(美国，Math.Riews，96c: 12003).

［7］孙宗明.关于pk(p＞3)元域上的三次方程［J］.泰安师专学报，2001，(3):1－6.

［8］孙宗明，等.3k元域上的三次方程根的简况［J］.广西师范学院学报(自然科学版)，1995，(2):32－34.

［9］孙宗明.pk元域上的三次方程根的状况［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，2001，(3):28－31.

［10］熊全淹.近世代数［M］.上海:上海科学技术出版社，1978.

［11］孙宗明.pk元域F的单超越扩域E上的二次方程［J］.河北师范大学学报(自然科学版)，1992，(3):14－16.

［12］孙宗明.2k元域上的二次方程根的公式［J］.数学的实践与认识，2001，(6):132－133(美国，Math.Riews，2002年索引).

［13］王念平.关于“2k元域上的二次方程根的公式”的注记［J］.数学的实践与认识，2004，(11):148－152.

［14］孙宗明.pk元域F及F的单超越扩域E上的二项方程［J］.泰安师专学报，2001，(3):4－8.

［15］孙宗明.pk元域上的2pl次方程根的状况［J］.数学的实践与认识，1987，(1):43－45(美国，Math.Riews，1988年索引).

［16］孙宗明.pk元域上的方程xq=d与ax2q+bxq+c=0［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，1990，(1):22－26(美国，Math.Riews，92h:11110).

［17］孙宗明.pk元域上的二项方程和三项方程根的状况［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，1991，(3):20－24(美国，Math.Riews，96f:12001).

［18］孙宗明.pk元域F的单超越扩域E上的方程yn=D与Ay2n+Byn+C=0［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，2000，(3):9－12.

［19］孙宗明.pk元域上的一类方程根的状况［J］.河北师范大学学报(自然科学版)，1996，(2):23－25.

［20］孙宗明.pk(p≥3)元域上的方程∑(－1)iaixn－1－i=0［J］.岱宗学刊(自然科学版)，1999，(2):20－23.

［21］孙宗明.2k元域上的方程∑(－1)iaixn－1－i=0［J］.山东科技大学学报(自然科学版)，2001，(1):10－12(美国，Math.Riews，2002b:11172).

［22］孙宗明.pk元域上的方程∑k－10aixn－1－i=0［J］.广西师范学院学报(自然科学版)，2003，(4):29－31.

［23］孙宗明.pk元域上的方程∑aixn－1－i=0与∑(－a)ixn－1－i=0［J］.商丘师范学院学报，2005，(2):57－59.

［24］孙宗明.pk元域F的单超越扩域E上的方程∑Aixn－1－i=0与∑(－A)ixn－1－i=0［J］.集美大学学报(自然科学版)，2007，(2):129－132.

［25］孙宗明.p2m元域上的某些方程的解的状况［J］.吉安师专自然科学学报，1986，(2):34－36.

［26］孙宗明，等.pk元域上的方程xq+1=λ与x+xq=μ［J］.山东师大学报(自然科学版)，1994，(2):11－13.

［27］孙宗明.p元域上的一类不可约多项［J］.殷都学刊(自然科学版)，1990，(1):22－23.

［28］孙宗明.pk元域上的方程xps－x－c=0［J］.周口师范学院学报，2011，(5).

［29］孙宗明.有限循环群的若干特征性质［J］.曲阜师院学报(自然科学版)，1982，(3):50－54.

［30］孙宗明.pk元域中元素的n次根［J］.周口师范学院学报，2011，(2):8－11.

［31］孙宗明.线性矩阵方程(组)的理论［J］.益阳师专学报，1993，(6):25－30(美国，Math.Riews，1994年索引).

［32］孙宗明.pk元域上线性矩阵方程(组)的理论［J］.周口师范学院学报，2008，(2):19－20，26.

［33］孙宗明.有限域上二项方程根的求法［J］.山东教育学院学报，1989，(4):36－39.

［34］孙宗明.pk元域上一元方程的几个降次定理［J］.山东教育学院学报，1991，(2):31－33.

［35］孙宗明.有限域上的不可约多项式的存在性与求法［J］.开封大学学报，1993，(3):16－19.

［36］孙宗明.域Fp与Fq上的m次不可约多项式［J］.殷都学刊(自然科学版)，1993，(4):38－41.

［37］孙宗明.有限域上的不可约多项式的根号解［J］.内蒙古师大学报(自然科学汉文版)，1995，(2):12－15.

［38］孙宗明，等.pk元域上的n方元素［J］.广西师范学院学报(自然科学版)，1995(增刊):6－8.

［39］孙宗明.Fp［x］中的本原多项式与GF(Pn)中的本原元素［J］.泰安师专学报(自然科学版)，1990，(2):1－5.

［40］孙宗明.pk元域的m次不可约多项式与xpkm－x的因式分解［J］.泰安师专学报(自然科学版)，1995，(2):9－12.

［41］孙宗明，等.关于pk元域上的二项方程［J］.泰安师专学报(自然科学版)，1994，(2):17－21.

［42］孙宗明.pk(p＞3)元域上的三次方程根的状况［J］.长沙大学学报，2000，(4):13－17，21.

［43］孙宗明.pk元域F及其单超越扩域E上的四类方程［J］.长沙大学学报，2003，(1):23－27.

［44］孙宗明.pk元域上的二次方程根的判定［J］.泰山学院学报，2010，(3):8－14.