构建基于有效数学活动的教学策略

孙 利，张文倩

(1.泰山学院数学与系统科学学院，山东泰安 271021;2.肥城市汶阳中心中学; 3.肥城市汶阳中心小学，山东肥城 271606)

1 问题研究的理论依据

有效教学的核心就是教学的效益，有效的数学教学必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上，有效的数学活动以民主、和谐、开放、富有活力的课堂教学环境为依托，可以用最有效的方式向学习者传递知识(Bebnar等，1991)，通过简化还原和标准化使得知识分析、分解和简化为基本的组块，使得知识更为有效地迁移.

英国数学教育家利贝克(P.Liebeck)接受布鲁纳的思想，认为学生的数学学习可以概括为经验、语言、图像和符号四个基本环节.英国著名教育家迪恩斯(Z.Dienes)认为，学生掌握数学意义必须从他们的熟悉的环境中实现，要适合儿童的兴趣、能力和个人的亲身经验，学生掌握数学意义必须在他们熟悉的环境中实现.戴维斯(R.B.Davis)等认为，儿童学数学的方式，一种是复制式，另一种是建构式，建构的方式是“做数学”.弗赖登塔尔(Hans Freudenthal)提出:数学教学的核心是学生的“再创造”，这就是说，数学学习事实上就是这样的“再创造”过程，我们在此并非是要机械地去重复历史中的“原始创造”，而应根据自己的体验并用自己的思维方式重新去创造出有关的数学知识.

2 有效数学活动的教学模式构建

“数学学习活动就是通过学生自身主动的建构，使新的数学材料在学生头脑中活动特定的意义”，“在于学生的共同活动，包括一起分析并寻找联系答案，一起设计与证明，并实现活动，还一起检验与评估其结果(包括对错误的分析)”［1］，有效的数学学习活动，借助于数学操作、实验和活动，以师生实验、议论、活动、对话交流、讨论等使学生参与的教学方式，用数学的方式、数学模型、数学地思考方式去研究现实生活中的实际问题，着眼于改变学生的学习方式，在积极地数学活动中指导学生开展自主探究学习和小组合作学习，获得经验、知识、方法和能力，通过数学实践活动，理性获得广泛的数学活动经验，获得对数学探究的体验与感悟，经历数学知识的再发现、再创造的过程.

学生在教师的指导下，通过自己的积极数学思维活动，在思考的基础上理解，有效理解数学知识的生成过程，学习数学家思维活动的方式，体验开展数学活动的探索乐趣，学会数学化的方法，在表征交流中建构和完善自己的有效数学知识，在实践中形成自己的经验.

2.1 在有效活动中思考理解

迪恩斯强调学生理解数学意义的重要性，数学意义必须在他们熟悉的环境中实现，要适合学生的兴趣、能力、和个人亲身经验.通过“量一量”、“算一算”、“查一查”等有效数学活动，让学生会观察、分析、提炼和概括，在“做中学”，在做中领悟，理解问题的生成与发展，教师给予恰当合理地指导，“以使它们成为进一步思考和加工、讨论和完善、提炼和概括的对象，促使学生的思维向纵深发展”［2］.例如，三角形的内角和的教学中，让学生动手测量(猜测)，得到三角形的内角和的大小，使抽象的数学知识以直观的形式出现，通过拼剪操作(证实)，探索和发现三角形三个内角的和等于180°，通过演绎推理(证明)由形象的认识提炼为抽象的概括，让学生在亲身参与的活动中体验领悟，体会三角形的稳定性在生活中的应用，并能应用三角形的内角和性质解决一些简单的问题.

2.2 在表征中积累有效经验

“通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识”，［3］“在操作、观察、讨论、交流、归纳、猜想、分析和整理的过程中，理解数学问题的提出、数学概念的形成、数学结论的获得与验证以及数学知识的应用”.［4］通过实践活动，在操作中获得大量的感性知识，根据在数学活动中产生的事实，寻找理论上的证明，这种自己动手、探究体验得出的数学经验，“可以使学生看到别人如何选择表示方法，将自己的方法与别人的方法进行比较，并对自己的方法作出修正或补充.这样就有可能使学生体会到应当如何灵活、恰当地选择表示方法”，［2］会较好的保持长久记忆，例如，在学“平行四边形面积计算”时，让学生自己准备平行四边形若干个，观察表面特征、概念属性、隶属关系，根据三角形面积的计算，开展实验研究，让学生分组合作进行“割”、“补”、“拼”、“接”等活动，类比联想，然后各小组交流、讨论后，归纳出平行四边形面积的计算公式.

2.3 在有效活动中建构概念

数学活动提供了包括语言、符号、图像、场景等多维的、动态的、交互性的学习资源，可以说只要进入学习环境、对学习活动起支撑性作用的所有因素、事物、人物等都在这种广义的学习资源的范围中，因此，伴随着积极地情感体验，学生由原来的“听”数学，变成了“做”数学，学生从提供的信息资料通过观察、思考、联想、想象和发问，提取数学信息，搜寻数量关系、空间形式及彼此之间的内在联系，进而将主要知识点通过相关知识点的联结形成知识链.这样的学习活动符合利贝克和戴维斯的教育思想，表明了学生的学习过程是积极建构的，也建构了高层次的思维.

数学概念的定义可以由整个班级的讨论、协商，通过共同的认可来做出选择而建立起来，“注意观察、归纳学生在数学学习过程中思维活动的规律，研究思维活动的发展过程，把数学知识地发生、发展过程充分地暴露给学生，把数学家发现数学知识的原始思维过程尽量展现给学生”，［5］例如“圆的认识”一课中，通过研究生活问题:“下水道的盖子为什么是圆形的?”在数学活动中演示变化(图形)、在同学交流中互相讨论、教师的点拨指导下思考等反馈中，亲身经历和体验数学知识的发展过程，逐渐形成自己的认知结构体系.学生很快表征出对圆的理解:圆形的盖子美观，节约材料;由于圆的直径相等(直径是最长的弦)，圆形的盖子翻起时，盖子不会掉下去.这样，把数学知识与生活实际紧密联系起来，学生学会用数学的眼光去看待生活问题，准确地用数学的知识解释生活中的事实，不但使学生加深对数学知识的理解，而且能让学生感受数学知识在现实生活中的应用.

2.4 在甄别中建立数学模型

学生在数学活动中对问题进行尝试比较、推理论证，在深层次地参与中主动地构建知识，通过实例来证明或辨析所获得知识，形成确切的数学概念.学生所要完成的主要任务是搜集所需要的知识和信息并进行分类编码、数据分析和图象处理，使静态的数学结构表现为逻辑的动态过程.经过比较分析，研究理论和实际的差异，验证猜想和理论，理解数学科学发展的过程，学生可以像数学家一样，对数学知识加以归纳、类比、联想、猜测和验证，使问题与学生原有认知结构中的经验发生碰撞而激活现有的经验去“同化”或“顺应”学习活动中的新知识，形成链结.例如，在统计初步的教学中，利用多媒体演示每个家庭丢弃塑料袋的情况，通过师生对话、生生交流中探索平均数、众数、中位数的意义，提供解决问题的方案，使抽象的数学知识展现意义，并体验环境与可持续发展的关系.

2.5 有效地开展变式练习

在变式练习中探究、猜测、再发现数学知识，有效促进数学学习的进程，强调学生学习数学是一个现实的经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的数学活动对学生理解数学的重要性，突出发挥学生的学习积极性的作用，鼓励学生独立探索发现、独立获取知识的能力.例如，在同底数幂的乘法教学中，通过变式练习，由特殊到一般，猜测得出结论.

3 数学活动的教学策略

3.1 联系日常生活经验

设计直接源于生活经验数学活动，例如:组织旅游活动制订预算、摸球活动体验随机事件的可能性，让学生通过“做数学”体会其中的数学内涵，获得相应的数学经验，更为有效地促进学习者的学习过程，真正获得对知识的意义的理解，这些知识和方法又组成怎样的一个编码结构，学习者所经历的探索和研究过程，“理解问题，通过对问题进行适当分析，并将问题翻译成自己能理解的表述形式，有意识地进行计划解决过程，而不至于陷入无目标的试误过程”，［6］可以真正体验数学知识的形式化过程，依据自身已有知识经验生成和主动地建构新的经验，促进数学知识的生成和主动建构.

3.2 创设数学情境构建数学模型

数学情境打破数学知识间的条块分割局面，经过提炼、简化、筛选，密切结合实际，在具体操作和探究中活动体验，打通知识融合的道路，可以使“数学知识的多样化表达方式可以极大地拓展数学学习的空间，有利地支持学生的学和教师的教，使高水平的、深层次的思维活动获得有利的支持”［5］.在活动中将算法和知识的内涵领悟，学生在教师的指导下，通过积极地数学实验、数学制作、数学游戏等思维活动，有效理解数学知识的生成、发展过程，在表征交流中建构和完善自己的数学知识结构，“将线性的知识点链通过变式教学，建立起横向的联系，形成知识网络，将平面的知识网络通过数学思想方法的提炼形成立体的模块”.［3］

3.3 在感悟意义中理解数学知识

数学情境使得一些重要的数学知识借助于寻求某种具体的形象化的支持，学生参与“做数学”，获得某种相对有效的数学经验.例如:多米诺骨牌游戏与数学归纳法，进行与问题相关主题的交流、沟通和讨论，进行多维度、多层次、互相交流的合作，对解决问题的过程进行自觉的调控，促进学生弄清问题的知识结构层次、逻辑先后顺序、信息发展流程，加强在“做数学，用数学”方面的指导，使教学过程成为促进学生在内在情感和迫切学习的动机驱动下，主动探究，猜测筛选，确定可能的结论，有效地构建自己的数学理解，从中获得对数学概念、定理、法则及思想方法的理解与掌握，解释得到答案的过程，体验知识的形成过程，反思“再发现”的思维过程，“检验他们获得答案的过程，与他人分享自己的探究过程，并进一步精制这个过程”.［6］

3.4 在数学实践中感受数学知识的应用价值

数学实践解决数学问题的过程，也就是学习创造性数学活动经验、发展创新意识的过程.让学生尝试通过自己动手和观察实验结果去发现和总结其中的规律，使用自己发现的知识去解决问题，例如，让学生测算粉刷房屋所需资金，确定选用那种涂料、涂料的价格、房间面积、粉刷的工钱，明确了这些因素以后学生就可以初步估计，感受数学知识可以为我们的生活服务的价值.“问题的发现、寻找问题解决的方法、结论的获得、语言的表述，以及对上述活动过程的反思、对解决问题的方法和语言表述的优化和问题的推广等所组成的一个整体”，［2］让学生亲身经历客观实际与数学知识的联系、体验数学知识的再创造的过程，在实践中形成自己的创新经验.

3.5 有效提升了双基模块的形成

在“做”数学中设置“最近发展区”，“将数学的主要知识点，通过相关知识点的联结，形成知识点链”.［3］例如，在一元二次方程的教学中，通过做变式练习，展开思维联结，研究求根公式、判别式、根与系数的关系、转化思想方法等，形成了一元二次方程的知识网络模块，从而向高层次思维水平发展，有效促进知识的整体性和相互联系的建构.

4 有效数学活动的理论意义探究

4.1 有效活动引领学习方式的变革

有效数学活动利用各种学具进行实际操作，联系原有知识和生活实际，学生在亲自获取的丰富的感性认识和直接经验的基础上，学生的思维会向高层次发展，可以提升学生的动手、动口、动脑能力，解放学生的时间和思维空间，帮助学生自主探究、发现问题、大胆发问，促进学生由机械的接受学习向意义学习发展.学生在有效的数学学习活动中，尝试使用有效方法对得到的信息进行过滤、分析、处理，对知识建构过程形成一定的认识，例如:在“空间几何体的三视图”的教学时，让学生准备若干小正方体木块，动手移摆，在每一种堆放方式下，从各个方向去观察思考辨析，实现数学学习的活动化，“这种过程不仅仅是用于讨论主题，更重要的是能够让学生体验隐藏在建立定义、使用证明、假设问题、改善论证等后面的方法”.［6］

4.2 把“教”建立在学生的“学”的基础上

数学活动允许每个学生以自己喜欢的方式去学习数学，学生经过主动探究，小组讨论，促进高层次数学思维，提高思考力度，给学生思维发展留有足够的空间.学生对于同一数学问题可能有不同的思路和策略，在学生获取信息后，教师再给予适当的指导;每个学生根据自己得到的信息形成自己初步的学习体会或者研究成果，并且可以以实验报告、论文、电子网页等形式将初步的成果具体体现出来;教师和学生可以采用多种形式来研讨初步成果，再根据交流获得的经验，完善自己的学习体会或者研究成果，验证假设，经过比较分析，研究理论和实际的差异，验证猜想和理论，理解数学科学发展的过程.

4.3 在数学交流中提高

在探索性活动和独立思考的基础上，学生有不懂的地方可以相互讨论、争论，学生之间充分地交流自己的发现，“注意观察、归纳学生在数学学习过程中思维活动的规律，研究思维活动的发展过程，把数学知识地发生、发展过程充分地暴露给学生，把数学家发现数学知识的原始思维过程尽量展现给学生”，［7］在自己已经建构的知识基础上，提出自己的见解，学生进行数学交流，加强数学体验，阐述自己的观点和见解，澄清自己的思路，获得合理的结果，并用自己的语言表述思维的过程，增强对知识发展过程的认识和理解，真正经历数学化的过程，最终，学生选择适合自己的方法，建构个人的所学内容的意义和知识体系、承担自己学习的责任.

4.4 在反思中创新发展

“在学习和思考过程中，学生的注意力需要在高层次的策略性知识和低层次的描述性知识及程序性知识之间不断转换，不仅要意识到自己的加工材料，而且要注意到自己的加工过程和方法，不断反省自己的策略是否恰当，优化自己的加工过程”.［2］对真实而复杂的学习环境中的学习活动而言，通过自己模拟检验，独立思考、判断，在获取初步探索的结果上，提出自己独特的见解，倾听他人的意见，反思问题解决的过程，开发学生的数学学习的元认知潜能，促进自我监控能力的发展.当学生做完“数学实验”时，就结果进行探究性质疑、经验性归纳，在学习过程中，学生不仅理解新知识，而且对新知识进行分析、检验和批判，不是依赖已有的方法和答案，不是轻易认同别人的观点，而是敢于摆脱习惯、权威等定势，打破传统、经验的束缚和影响.

4.5 促进自主学习理念的发展

在有效的数学活动中，经过高层次的思维活动，激活各种储存中的经验、知识，尝试相关知识的联结、综合运用，获得有益的数学经验，并提出自己想要解决问题的策略，并懂得尊重他人的成果，这也符合义务教育《数学课程标准》中所提出的理念:“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”.只有真正考虑到学生之间的差异，尊重这种差异，才能保证每个学生都在原有水平上得到相应的发展.

5 总结

有效的数学活动，更关注情境、实用及学生未来发展所必需的知识、经验、观念、方法等(包括默会知识与明确知识)，使数学问题探究、表征交流、数学建模、数学应用成为数学教学的有效策略，可以促进学生在知识技能、数学思考、解决问题和情感态度等方面得到发展.数学活动让学生真正地在合作中体验到成就感，使得数学知识与其他知识融通起来，获得创新和发展，真正从书本中、课堂上、考试中走出来，使得数学教学更加生动活泼，使得数学走向生活，走向现实，更加情境化，回到数学教学的本体上来.同时，让学生把学习数学当作一种乐趣，让学生感受到生活中到处都有数学知识的存在，有效地培养了高层次的数学思维能力，获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养，学生知识的积累、应用和创新，归根到底要靠生活实践和社会实践来实现.

［1］唐瑞芬.数学教学理论选讲［M］.上海:华东师范大学出版社，2001.

［2］张奠宙，宋乃庆.数学教育概论［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［3］章建跃.数学学习论与学习指导［M］.北京:人民教育出版社，2001.

［4］窦金强.数学实验教学的实践与思考［J］.中学数学，2003，(9).

［5］侯立伟.信息技术利于数学实验的开展［J］.数学教育学报，2006，(1):99.

［6］徐斌艳.数学教育展望［M］.上海:华东师范大学出版社，2001.

［7］李树臣，刘琳.新课程改革下数学教师应具备的新理念［J］.中学数学教与学，2004，(3):22.