一个q-级数不等式
2011-01-22,
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(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)
0 引言
q-级数,也称为基本的超几何学级数,它在许多领域有着非常重要的作用,比如:数论,群论,根系,李代数及物理学中的量子群表示等.由于其重要性,到目前为止建立了许多的q-级数恒等式[1-3].但是有些q-级数其和不易求得,故运用其他方法来研究q-级数是有意义的.在文[4]中,Wang使用不等式技巧研究了一个q-级数,获得了关于q-级数的一个新的不等式,即
成立,其中
当a=q时,上述不等式成立(关于[gi(x,a);q]∞(i=1,2)定义见下节).
本文受此启发,获得了关于q-级数的一个新的不等式,拓展了文[4]的结果.
1 主要引理
为得到本文的主要结果,在本节我们先给出下列定义,引理及其证明.
定义1 如果g(x)是[0,1]上的一个函数,我们定义
[g(x);q]n=(1-g(q0))(1-g(q1))…(1-g(qn-1))
[g(x);q]∞=(1-g(q0))(1-g(q1))…(1-g(qn))…
若g(x)=ax,则有 [g(x);q]n=(1-a)(1-aq)…(1-aqn-1)=(a;q)n.
引理1[4]如果0 令 下证h1(t)<0. 由于 又令 g(t)=(1+2q)t2-3t+3(1-q), 因为 则 Δ=9-12(1+2q)(1-q)=3[8q2-4q-1]<0, 故g(t)>0,从而h1(t)<0.再证h1(t)>-3. 由于 3t>(1+2q)t2,通过变形有 -(1-q)t2-3(1-q)+3t(1-qt)>-3(1-q), 则 下证h2(t)<0.由于 令 k(t)=[3q2+(1-q)2]t2-3(1+q2)t+3. Δ=9(1+q2)2-12[3q2+(1-q)2]=9(1-q2)2-12(1-q)2<0, 再证h2(t)>-4,事实上 又显然 [3q2+(1-q)2]t2-3(1+q2)t<0, 故有 [3q2+(1-q)2]t2-3(1+q2)t+3-4(1-q)2<0. 通过变形有 (1) 对此不等式重复用n-1次,可得 R(a,z)≤[f1(x,a);q]nR(aqn,z),n=1,2,… 令n→∞,则qn→0.故由引理2我们有 R(a,z)≤[f1(x,a);q]∞R(0,z) (2) 再利用引理1,可得 对上述不等式重复用n-1次,可得 R(a,z)≥[f2(x,a);q]nR(aqn,z),n=1,2,… 令n→∞,则由引理3,得 R(a,z)≥[f2(x,a);q]∞R(0,z) (3) 结合(2),(3)有 [f2(x,a);q]∞R(0,z)≤R(a,z)≤[f1(x,a);q]∞R(0,z) (4) 由引理2与引理3,易得 0<[f1(x,a);q]∞<1,0<[f2(x,a);q]∞<1. 令a=q,再次结合(3),(4)两式得到下面不等式, (5) 结合(4),(5)得 即 推论1 在定理1的条件下,我们有 其中 证明 (6) (7) 于是由(1),(6)和(7)式得 [1]Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].Cambridge: Cambridge University Press,1952. [2]Gasper G.Lecture Notes for an Introductory Minicourse onq-Series[M].New York: Spring-Verlag.1995. [3]Gasper G,Rahman M.Basic Hypergeometric Series,Encyclopedia of Mathematics and Its Applications[M].Cambridge: Cambridge University Press,1990. [4]Wang M J.An Inequality about q-series[J].J Inequal Pure and Appl Math,2006,7(4): 1-7.2 主要结果