柱形长杆弹侵彻的界面击溃分析*

李继承，陈小伟

（中国工程物理研究院总体工程研究所，四川 绵阳 621900）

柱形长杆弹侵彻的界面击溃分析*

李继承，陈小伟

（中国工程物理研究院总体工程研究所，四川 绵阳 621900）

在Alekseevski-Tate模型的基础上，分析了柱形长杆弹的界面击溃过程，给出了弹体速度下降及质量侵蚀的计算公式；讨论了弹体速度下降及质量侵蚀对动能损失的影响；特别针对柱形长杆弹在界面击溃过程中弹体速度准定常小量变化的特点，近似给出了弹体速度、弹体质量随时间变化的简化解析表达式，为工程应用提供便利。

爆炸力学；解析表达式；Alekseevski-Tate模型；柱形长杆弹；界面击溃；动能损失

在陶瓷靶侵彻试验中常存在界面击溃现象，即弹体材料在靶板表面向外流动而靶板未发生明显侵彻。从G.E.Hauver等［1－4］最先报道界面击溃现象以来，该领域的相关研究得到了广泛开展。其中较有影响的是P.Lundberg等的相关工作，他们开展了许多针对长杆弹撞击不同种类陶瓷靶板的试验研究、理论分析以及数值模拟等［5－9］。T.J.Holmquist等［10－11］也开展了相关的数值模拟研究。

在界面击溃过程中，弹体由于头部材料向外流动而发生质量侵蚀，同时由于靶板阻力作用导致速度下降。因此，弹体损失动能，进而影响其后对靶板的侵彻／穿甲。C.E.Anderson等［12］针对尖锥头小子弹以及柱形长杆弹在界面击溃过程中的动能损失分析，结合相关试验数据经验地给出弹体所损失动能随时间变化的关系，并讨论由于质量侵蚀及速度下降而导致的动能损失。

本文中，在Alekseevski-Tate模型［13－14］的基础上，进一步具体分析柱形长杆弹在界面击溃过程中的速度下降和质量侵蚀，同时讨论其动能损失。结合相关分析给出针对陶瓷靶板侵彻／穿甲的弹体设计的一些建议；最后近似给出弹体速度、质量等随时间变化的简化解析表达式。

1 界面击溃模型

V.P.Alekseevski［13］、A.Tate［14］分析了金属长杆对金属靶及陶瓷靶等的高速侵彻，假设弹体呈刚性，在弹靶界面区域呈半流体状，给出了控制侵彻的修正Bernoulli方程

式中：ρp、ρt分别为弹材密度和靶材密度；Yp为弹材流动应力；Rt为靶体侵彻阻力；u、v、P和l′分别为侵彻速度、弹体速度、侵彻深度和弹体剩余长度，四者均为时间t的函数。t＝0时，v＝v0，l′＝L，其中v0和L分别为初始撞击速度和弹体初始长度。

在界面击溃过程中，式（1）～（4）中的u取为零值，且式（1）、（4）不再适用。相应地，式（3）变为式

中：m为弹体质量，S为弹头横截面积。

由于式（6）为一般意义上的牛顿第二定律表达式，因此式（5）、（6）即可决定任意头形弹体在界面击溃过程中的力学行为。

同时式（2）可表示为严格的牛顿第二定律表达式

2 界面击溃过程中弹体的速度下降以及质量侵蚀

以下将从式（5）、（6）出发，具体讨论柱形长杆弹在界面击溃过程中的速度下降以及质量侵蚀。柱形长杆弹的结构如图1所示，其中R为弹身半径；l为弹体侵蚀长度。

结合图1，以侵蚀长度l作为主要分析变量，由l′＋l＝L，可将式（5）相应改写为

另外，根据式（7）可将式（6）中dv／dt表示为

图1 柱形长杆弹结构示意图Fig.1Geometry of a long rod

以下讨论弹体的速度下降以及质量侵蚀情况。统一将弹体初始质量表示为M，式（6）可表达为

推导式（9）可得

因此可求得弹体侵蚀长度l与弹体速度v的关系

将式（11）再代入式（9），并结合式（8）可得

A的实质是Johnson破坏数。对式（12）等号两边同时积分，即可得到弹体速度v与时间t的关系

定义一个常系数K（量纲［T］）和一个量纲一常量A分别为

式（14）中的积分项无法得到解析的表达式，因此不能得到弹体速度v随时间t变化的解析关系。但通过具体的t取值，利用数值计算（如MATLAB程序）可求得对应的v值，相应地，通过时间序列即可求得弹体速度v的变化。结合v随时间t变化的序列和式（11）又可求得弹体侵蚀长度l的变化情况，进而根据m＝M－ρpπR2l即可求得弹体剩余质量的变化。

图2 长杆弹相对速度随量纲一时间的变化Fig.2 Relative velocity of the long rod varied with scaled time

图3 长杆弹相对侵蚀长度随量纲一时间的变化Fig.3 Relative eroded length of the long rod varied with scaled time

C.E.Anderson等［12］针对L.Westerling等［6］使用弹身直径D＝2mm的钨合金柱形长杆弹以v0＝1 480m／s撞击陶瓷靶板的试验，根据动能损失分析，得到了弹体在仅发生界面击溃条件下弹体速度v和剩余长度l′随时间t的变化情况，进而给出了弹体总动能损失和由于质量侵蚀引起的动能损失的变化。以下结合C.E.Anderson等［12］的分析结果来验证式（9）～（14）的正确性。

L.Westerling等［6］试验中钨合金柱形长杆弹的相关参数为：ρp＝17.6g／cm3，Yp＝2.0GPa，R＝0.1cm，L＝15cm，M＝8.29g，v0＝1 480m／s。结合式（11）、式（14）可分别求得侵蚀长度l和弹体速度v，弹体剩余长度l′＝L－l；进一步可以得到弹体由于质量侵蚀所损失的动能（Ek）E＝ （M－m／2，由于质量侵蚀和速度下降所损失的总动能（Ek）E＆D＝／2－mv2／2，以及两者相对于初始动能（Ek）0＝／2的比值。计算结果同 C.E.Anderson等［12］分析结果的对比如图2～4所示。为了方便对比分析，将图中相关参量均表示为C.E.Anderson等［12］分析中的相应标识，即将时间t转换为量纲—时间v0t／L，弹体速度v转换为相对速度v／v0，侵蚀长度l转换为相对侵蚀长度l／D。图中属于本文分析的参量则使用相应表达式序号或标注“Theory”。

从图2～4可看出，理论结果与C.E.Anderson等［12］的分析结果一致，相应曲线几乎重合，仅对于（Ek）E在撞击后期有轻微差别。这可能来源于计算方法的不同，C.E.Anderson等［12］的分析主要基于弹体损失动能相对于初始动能比值的变化关系。因此，相对于柱形长杆弹的界面击溃，式（9）～（14）的正确性得到了验证。

图4 长杆弹动能比值随量纲一时间的变化Fig.4 Relative kinetic energy of the long rod varied with scaled time

3 界面击溃过程中弹体的动能损失

结合上文给出的相应弹体速度v、侵蚀长度l和弹体剩余质量m的表达式，可具体分析柱形长杆弹的动能损失情况。结合L.Westerling等［6］给出的弹体结构，根据文献［5-9］可知弹体发生界面击溃所对应的撞击速度大多处于v0≤1 200m／s的范围内。为了对比分析，v0分别取800、1 000和1 200m／s。

结合L.Westerling等［6］给出的弹体结构参数及式（14）求得弹体相对速度v／v0随时间的变化如图5所示；根据式（11）求得弹体的相对侵蚀长度l／L和相对质量m／M随时间的变化分别如图6和图7所示；结合图4和图6又可求得弹体相对剩余动能Ek／（Ek）0随时间的变化如图8所示。另外，如前所述，弹体的动能损失一方面由于质量侵蚀，另一方面由于弹体的速度下降，图8中实线与点划线之间的范围即为总动能损失占弹体初始动能的比例（Ek）E＆D／（Ek）0；虚线与点划线之间的范围为由质量侵蚀引起的动能损失占弹体初始动能的比例（Ek）E／（Ek；而实线与虚线之间的范围即由速度下降引起的动能损失的相应比例（Ek）D／（Ek）0。

由图5可看出，在界面击溃初期，弹体速度v的下降均较缓慢，且随撞击速度v0增大而逐渐变缓，但下降速率的差异较小。此外，直到弹体接近完全侵蚀时，v的下降幅值均较小；而在弹体侵蚀后期，弹体速度急剧下降，在短时间内由较大的v值下降为零，且v0越大，v值的下降越迅速；v0＝1 200m／s时，弹体速度在后期几乎是瞬间陡降为零。

图5 不同撞击速度下弹体相对速度变化曲线Fig.5 Relative velocity varied with time for the long rod at different impact velocities

图6 不同撞击速度下弹体相对侵蚀长度变化曲线Fig.6 Relative eroded length varied with time for the long rod at different impact velocities

图7 不同撞击速度下弹体相对质量变化曲线Fig.7 Relative mass varied with time for the long rod at different impact velocities

图8 不同撞击速度下弹体相对动能变化曲线Fig.8 Relative kinetic energy varied with time for the long rod at different impact velocities

而根据图6和图7可知，弹体的侵蚀速度随v0增大而逐渐加快。此外，v0＞1 000m／s时，在v下降到零时弹体也几乎完全侵蚀；而对于较低的撞击速度，弹体速度v降为零时弹体还剩余一定长度，可推知v0值越低弹体剩余长度越大。从实际情况来看，对于较低的撞击速度，Alekseevski-Tate模型将不再适用，弹体将转变为Taylor撞击情形。

相应地，如图8所示，由于不同v0下弹体速度v在界面击溃前期的下降速率差别较小，而弹体的质量侵蚀则随v0增大而逐渐加快，因此弹体的动能损失随撞击速度增大而逐渐加快。C.E.Anderson等［12］的数值模拟以及P.Lundberg等［5－9］的试验发现，弹体在一定v0值范围内撞击陶瓷靶板时，先发生界面击溃并持续一定时段后才开始侵彻靶板。对于该类情形，v0较小时，尽管弹体的初始动能小，但由于动能损失较慢，一定时间后弹体的剩余动能可能与较大v0值对应的弹体剩余动能相当，即两者具有相同的后期侵彻／穿甲靶板能力，而撞击速度越小对弹体发射条件的要求越低，因此这在军事运用中值得考虑。从图8中还可看出，弹体在整个界面击溃过程中（Ek）D／（Ek）0值均远小于相应的（Ek）E／（Ek）0值，也即弹体的动能损失主要由质量侵蚀引起。随撞击速度降低，（Ek）D／（Ek）0值有所增大，但对应于各种v0值，由速度下降引起的弹体动能损失均远小于由质量侵蚀引起的部分。

由式（11）、（14））还可看出，弹体初始质量M、弹材密度ρp以及弹材流动应力Yp等均对弹体的动能损失产生影响，M和ρp越大，Yp越小，弹体在界面击溃过程中动能损失越慢。工程应用中可结合这些参数对弹体结构和撞击条件等作优化设计，对于增强弹体对陶瓷靶板的侵彻／穿甲能力将有重要意义。

4 弹体界面击溃的简化近似

如第2节中所述，通过式（14）不能得到弹体速度v随时间t变化的解析表达式，通过数值计算将会给工程应用增加一定的困难，因此工程应用中有必要作相应的合理简化。在保证结果有效性的同时，尽量使弹体参量随时间变化的关系显得简洁。本节将结合第2节的相关分析，对弹丸的界面击溃模型作相应简化近似，以便于工程上的应用。

结合图2可发现对于钨长杆弹的界面击溃，在弹体侵蚀掉原长的75%时，其速度v才下降约7%；W.Walters等［15］对Alekseevski-Tate模型的求解分析也得知v的下降幅值很小。此外，图2和 W.Walters等［15］的分析结果同时显示，v随时间t的下降曲线均表现出近似的线性关系。因此可推知式（14）中积分项内d（v／v0）的系数可近似视为一个常量；同时，由于v的下降很小，即v≈v0，因此在简化计算中可近似取v＝v0，则式（14）转化为

进而可计算得到v随时间t的变化关系为

结合式（7）和式（16）又可求得弹体的侵蚀长度与剩余质量随时间t的变化关系为

为验证式（15）～（18）的适用性，可结合L.Westerling等［6］给出的弹体结构参数，通过式（16）、（17）分别计算弹体速度v和侵蚀长度l随时间的变化，随后同第2节中的相关理论分析结果（式（11）、（14））作对比。为便于同时与C.E.Anderson等［12］的相应分析结果（图2～3）作比较，选择v0＝1 480m／s和v0＝800m／s等2种较高和较低撞击速度的情况为例。相应的比较结果如图9和图10所示。

由图9可看出，由式（16）所预测的弹体速度下降稍微变缓。然而对于2种v0值，式（16）均与理论结果（式（14））符合很好，直到弹体侵蚀掉40%弹长时两者几乎完全一致，此后两者之间的差别也处于允许误差范围内，预测结果同C.E.Anderson等［12］的相应分析结果也符合较好；而图10则显示三者预测的弹体侵蚀情况几乎完全一致。由此，柱形长杆弹界面击溃的简化近似关系（式（15）～（18））的适用性得到证实，在工程应用中能获得合理的预测结果。

另外可对比的是，W.Walters等［15］采用摄动法求解Alekseevski-Tate方程，给出弹体速度、侵彻速度以及弹体剩余长度等随时间变化的一阶和三阶近似表达式，并得知一阶近似值已同Alekseevski-Tate模型符合较好。其中弹体速度的一阶近似表达式为

对于长杆侵彻，由于弹体（一般采用钨合金杆）的密度大于靶板（陶瓷、钢靶）的密度，因此满足下式μv0t／［ （1 ＋μ）L］≪1，工程应用中可近似仅取式（21）中等号右边第1项代入式（19）可求得

结合式（20）即可发现式（22）与式（16）完全一致。在界面击溃过程中，常将靶板视为刚性，可略去靶板密度ρt的影响，式（16）～（18）、（22）的表达式中均未含有参量ρt，因此也符合界面击溃的物理意义。由此，式（15）～（18）的适用性再次得到了验证。

图9 不同分析模型下长杆弹弹体速度的变化Fig.9 Relative velocity of the long rod at different impact velocities vs scaled time based on different models

图10 不同分析模型下长杆弹侵蚀长度的变化Fig.10 Relative eroded length of the long rod at different impact velocities vs scaled time based on different models

5 结 语

在Alekseevski-Tate模型的基础上，分析了柱形长杆弹在界面击溃过程中的速度下降、质量侵蚀以及相应的动能损失，并近似给出弹体速度v、侵蚀长度l以及弹体质量m等随时间变化的解析表达式，在保证结果有效的前提下，给工程应用带来便利。分析发现弹体动能损失中由速度下降引起的部分（Ek）D远小于由于质量侵蚀引起的部分（Ek）E。

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Theoretical analysis on the interface defeat of a long rod penetration＊

LI Ji-cheng，CHEN Xiao-wei
（Institute of Structural Mechanics，China Academy of Engineering Physics，Mianyang 621900，Sichuan，China）

Based on the Alekseevski-Tate model，the present paper analyzes the interface defeat of a long rod in its penetration process，and the corresponding formulae of velocity decay and mass erosion of the long rod are presented.The effects of velocity decay and rod erosion on the loss of the kinetic energy of the long rod are discussed.In particular，aimed to the truth of quasi-static tail velocity of the long rod in the interface defeat，the simplified and explicit analytical expressions are formulated to describe the variation of the dominated parameters such as the velocity and the mass of the rod with time.It is convenient for engineering applications.

mechanics of explosion；analytical expressions；Alekseevski-Tate model；long rod；interface defeat；loss of kinetic energy

17December 2009；Revised 4May 2010

CHEN Xiao-wei，chenxiaoweintu＠yahoo.com

（责任编辑 张凌云）

O383 国标学科代码：130·3530

A

2009-12-17；

2010-05-04

国家自然科学基金项目（10672152）

李继承（1984— ），男，硕士，研究实习员。

Supported by the National Natural Science Foundation of China（10672152）