数学中的反例与创新思维培养

518001 广东省深圳中学 邓正德

数学中的反例与创新思维培养

518001 广东省深圳中学 邓正德

反例在数学教学中起着重要的作用，概括起来主要体现在以下几个方面:

1．反例是驳斥谬论、揭露诡辩、修正错误的重要手段，有助于正确掌握题解方法;

2．它是否定命题的重要方法;

3．反例是强化概念的有力工具，可以深化学生对知识的理解;

4．反例是帮助学生掌握定理、公式和法则的得力措施;

5．反例可以提高解题的速度;

4)修改功能：可以对学生的基本信息及各科成绩进行修改，并有提示确认修改对话框。当修改了学生的各科成绩后，学生成绩的总分自动重新计算并修改。当各科成绩未做改动时，修改其总分，总分不会有变化。

6．反例有助于创新思维的培养．

现就利用反例教学培养学生的创新思维谈些体会．

问题1 “一个等比数列{an}共有3n项，其前n项和为 Sn，则 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等比数列”，试判断这个命题的真假，并说明理由．

教学中，一个学习小组的同学经过讨论得出结论:这是真命题．理由如下:

(1)当公比 q=1 时 Sn=S2n-Sn，=S3n-S2n=na1，且a1≠0，命题成立;

(2)当公比q≠1时，由等比数列的求和公式可得S3n-S2n=q2n·Sn，S2n-Sn=qnSn，所以(S3n-S2n)∶(S2n-Sn)=(S2n-Sn)∶Sn=qn，命题成立．

问同学们:对这个小组的判断有没有不同看法?同学们异口同声回答:没有!更使人想不到的是，还有一位同学发问:老师难道你对此还有怀疑吗?我在几本教学参考资料和高考复习资料上都看到，都说这个结论是正确的，书上总不会搞错吧!同学们还鼓掌了．

这时启发道:你们对老师提出和讲解的一些问题都要问几个为什么，这是一种很好的思维方式．这个命题确实在很多书刊和高考模拟题中都出现过，书刊的作者肯定是经过慎重思考的，但也不能绝对保证不出错，我们应用批判的思维方式看待问题，要敢于挑战权威;平时常说追求真善美，数学是求真的科学．

同学们给出的证明是有问题的．大家都说问题在哪里?问题出在:“所以(S3n-S2n)∶(S2n-Sn)=(S2n-Sn)∶Sn=qn”．

同学们请思考:若Sn=0，这时上式还成立吗?大家议论开了．后来有同学举手发言，“老师，我找到一个反例说明这个命题是错误的:如果一个具有4项的等比数列的公比为-1，那么前2项和、中间2项和、最后2项和均为 0，显然 S4，S8-S4，S12-S8不是等比数列．”

顿时响起了热烈的掌声，同学们享受着学习的快乐，也为思维水平的提升感到高兴．

问题2 (人教版教材2-3的P24例8)100件不同的产品中有2件次品，从中任抽3件，问至少出现1件次品的抽法共有多少种．

教学时先由学生分组讨论、尝试探究其解法，三个小组的代表提出了三种不同解法.

然后由其他小组的同学评价，对于解法(2)，(3)大家认为其实质是相同的，都是分类．解法(3)采用了逆向思考的方式，问题的反面的情况少，用整体减去部分，解法简单，且得出的结论是正确的．解法(1)似乎有道理，但其计算结果比解法(2)的多了!觉得这一解法有问题，又一时找不出原因．这时启发同学们思考:

1．若A，B表示两件次品，在选1件次品时，它们都有一次被选的机会;设被选中的是A，再选另两件时B又有一次被选的机会，而A却没有;每一件正品也只有一次机会，这里出现了什么问题?

2．在选1件次品时选中的是A，再选的另两件是B和正品C;在选1件次品时选中的是B，再选另两件是A和正品C;这两种选法选出的都是A，B，C是同一种选法;而在解法(1)中算了几次?

问题2中的反例使同学们豁然开朗:解法(1)由于出现重复而错．

进一步提出问题:①遇到刚讨论的类似问题怎样做才可以避免重复?②在怎样情况下使用间接法比较合适?让同学们思考和小结．

问题3(2010年全国新(21)题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2．

(1)若a=0，求f(x)的单调区间;

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

讨论 (1)(略)．只讨论(2)中的问题，同学们在解答时常常是转化为最大值问题处理，但是当x≥0时，求极值点遇到解超越方程，解不下去，f(x)的最大值就无法用a的式子表示，往下走不通了．这时构造反例，可以缩小讨论范围，便于问题的解决．

取a≥1，则f(1)=e-2-a＜0，说明a≥1不符合要求．

同时根据(1)中提供的信息，可得ex≥1+x当且仅当x=0时等号成立，因 f'(x)=ex-1-2ax，故若把 ex缩小为1+x，可得f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x，不等式右边式子简单，用分类讨论就可以判断其符号了，进而单调性就可判断，问题就好解决多了．

数学创新思维品质的培养，关键在于激发学生创新性思维的发生机制．注重创设问题情境，形成创造氛围;要活用通性通法，强化信息储备;既指导学生在思维活动中灵活运用形象思维、发散思维和直觉思维，又注意各种思维方式的辩证性．构造反例有利于缜密思考，纠正错误结论，开拓数学新领域，培养学生发散性思维及创造性思维的能力;有利于培养学生良好的思维品质和良好的学习习惯．在数学教学中反例是很多的，掌握了构造反例的基本方法后可以自己构造出好的反例．只要我们有心利用，注意把握好时期，适当讲究教学艺术，不仅可以激发学生的探索兴趣，培养其钻研精神，成为优化创新的诱因，而且可以让学生去体验创新的快乐，进而逐步形成创新的意识．这些工作应该提倡数学教师努力去做．

1 蔡玉书.“数学中反例教学的作用与思考”

20110714)