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从一道高考题欣赏出租车几何学

2011-01-13236800安徽省亳州市第一中学

中学数学杂志 2011年17期
关键词:欧氏格点外接圆

236800 安徽省亳州市第一中学 史 嘉

从一道高考题欣赏出租车几何学

236800 安徽省亳州市第一中学 史 嘉

2009年高考数学上海理科卷第13题:

某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1,两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.

该题以现代城市棋盘式布局(如北京道路几乎都是东西和南北走向)为背景而抽象出的理想模型.题中两格点间的“路程”不同于欧氏几何中两点间的“距离”,如给定两点 A(x1,y1),B(x2,y2),欧氏几何的距离即 dAB,而题中的路程为lAB=|x1-x2|+|y1-y2|.在城市中,我们说两点间的距离,往往不是指两点间的直线距离(位移),而是考虑它们相距多少个街区(路程),这种理想模型正是出租车几何学(taxicabgeometry)的现实意义.假设每条街道都是水平或竖直的,那么只要你朝着目标走(假如不故意绕道),不管怎样走,“距离”(路程)都是一样的,如图1.

我们知道,除了经典的欧氏几何,还有非欧几何.在日常生活空间里,欧氏几何是适用的;而在宇宙空间中或原子核世界,罗氏几何更符合客观实际;在地球表面研究航海、航空等实际问题中,黎曼几何更准确一些.出租车几何也算是一种全新的非欧几何,适用于城市街道距离的测量,尤其是对出租车师傅,其名称就来源于此.接下来,我们从点和距离的定义谈起.

在出租车几何学中,点还是定义为形如(x,y)的有序实数对,角度大小的定义也和原来一样.只是,两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的距离重新定义为了|AB|=|x1-x2|+|y1-y2|,即两点的横坐标之差与纵坐标之差的和.

其中对“距离”的定义是合理的,因为它满足距离公理:

图1

(1)非负性:任意两点A和B,都有一个非负实数|AB|与之对应,该实数就叫做点A到点B的距离;

(2)对称性:A到B的距离与B到A的距离相等,即|AB|=|BA|;

(3)零距离:当且仅当这两点重合时,距离|AB|=0;

(4)三角形不等式:对于任意三点A、B和 C,总有|AB|+|BC|≥|AC|成立.

也就是说出租车几何学是建立在一个合理的度量空间上的.我们这就进入一个全新的几何世界:出租车几何.

在这个世界里,很多经典定理仍然成立.比方说,三角形的内角和还是180度.因为,这是一个关于角度的定理,与距离的度量方式无关.不过,一旦涉及到三角形的边长(距离),就会出现“古怪”的现象.

第一个“古怪”的现象就是三角形中等边未必对等角了.底角不相等的等腰三角形不计其数,如图2中的△ABC,AC=BC,但∠A≠∠B.类似地,等角对等边也不成立了,例如图3中的三角形,虽然∠B=∠C,但AC=5,AB=7.“奇怪”的是,在出租车几何中,甚至能画出等边直角三角形,如图4,AB=AC=BC=4,但AB⊥BC.

图2 图3

图4 图5

在这个世界里,两个三角形的三边对应相等(SSS)并不能用来判断他们全等.如图5中的△ABC和△A'B'C',显然 AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C',但这两个三角形并不全等.边角边(SAS)也不能作为全等三角形的判定依据.如图6中两个直角边长均为2的直角三角形,它们明显不能完全重合在一起.

图6 图7

图8

在新的游戏规则下,很多图形会变得不可思议.我们知道线段的垂直平分线为“到两端点距离相等的点的集合”,是一条直线.在这个几何世界里,如果垂直平分线还那样定义的话,会是怎样的图形呢?在一般情况下,垂直平分线并不是“垂直”平分线,而是一条折线,如图7;有时还不唯一,甚至不再是“线”,如图8,线段AB的垂直平分线就是线段连接着两整块的区域.

图9

尽管线段的垂直平分线如此怪异,不过(一般情况下)三角形三边的垂直平分线仍然交于一点,如图9.这是因为,“三角形三边的垂直平分线交于一点”的证明过程只与垂直平分线的定义有关,而与垂直平分线的具体形式无关.那么,这个点是否是三角形的“外心”?这个三角形也有外接圆吗?圆又是怎样的图形?

在出租车几何中,最有趣的就是圆.如果我们仍然定义圆为“到某定点的距离为定长的点的集合”的话,那么图10中的“正方形ABCD”就是一个半径为2的圆.因为其圆周上的所有点到圆心O的“距离”都是2.但是,“正方形”却又未必是圆,如图11的“正方形ABCD”就不满足圆的定义.更令人惊奇的是,这个几何世界的圆周率不再是无理数π了,而是有理数4.神奇的还不止这些.圆的方程变得更简单了,如圆心在原点的单位圆方程是|x|+|y|=1,任意圆的标准方程为|x-a|+|y-b|=r,其中(a,b)为圆心,r为半径.

图10 图11

原来,图9中的点O也是名副其实的“外心”,以它为圆心、以4为半径的圆(即图12中的“正方形DEFG”)就是△ABC的外接圆.也就是说,在出租车几何里,一般位置上的三个点也唯一地确定了一个圆.不过,也有例外,比如同时过点 A(-1,0)、B(0,-1)、C(0,1)的圆就有无穷多个.这是因为,AB和 AC的垂直平分线都不是“线”,而是整块的区域.因此这几条“垂直平分线”的交集不止一个点,如图13,圆O1(即正方形ADEF)和圆O2(即正方形AGHI)都是△ABC的外接圆.

图12 图13

到此,我们只是初步领略了出租车几何的“怪异美”.正如文[3]所打的一个形象比喻:石桌面上刻着纵横相错的网格,旁边摆放着黑白两种颜色的棋子.你认为这一定是为下围棋准备的么?未必,可以下围棋,还可以下五子棋.棋具相同,规则有别,就是不同的游戏.出租车几何就是有别于欧氏几何规则的新游戏.那么,还有哪些欧氏几何的经典结论在出租车几何学中同样成立?出租车几何学中有什么漂亮而独特的结论?如何定义一些更加复杂的几何对象?它们在出租车几何学中又是什么样的?感兴趣的读者可以taxicabgeometry以为关键词,用百度等搜索相关信息,不妨继续往下探索这个不为人知的神奇世界.

近几年,以出租车几何为背景的高考题除2009年上海文理卷中的两题外,还有2010年广东理科第21题,以“折线距离”d(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|为背景命制,值得关注.最后,利用出租车几何中的距离(即考题中的路程)求解报刊发行站的位置.

只有y=3或4时6个因式不异号,即等号成立.

故L≥13+9=22,此时不与零售点重合的格点只有(3,3).

1 Matrix67.出租车几何学:一个全新的几何世界http:∥www.matrix67.com/blog/archives/4078

2 Taxicabgeometry.http://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry

3 彭翕成.不同的公理不同的几何[J].中学数学,2011,5

20110721)

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