泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用

赵中，张秀全

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用

赵中，张秀全

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

泰勒公式在数学分析中具有重要地位．讨论了泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数求解方面的应用，拓宽了泰勒公式的应用范围．

泰勒公式；高阶导数；高阶偏导数

泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，在微积分的各个方面有着广泛的应用．现有文献对一元函数的泰勒公式在近似计算、误差分析、函数极限的求解、函数单调性的判断和微分方程的求解等方面的讨论较多，但很少涉及一元函数的泰勒公式在高阶导数中的应用以及二元函数泰勒公式的应用．本文通过典型例题，讨论泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数求解方面的应用．

1 主要定理

定理1 若函数f( x)在点x0存在直到n阶的导数，则有

定理3 设函数f( x， y)具有n+1阶连续偏导数，若用某种方法得到展开式

2 泰勒公式的应用

2.1 一元函数的泰勒公式在高阶导数中的应用

2.1.1 求高阶导数

2.1.2 证明与高阶导数有关的命题

当问题涉及函数的二阶或二阶以上导数时，可使用泰勒公式将各阶导数有机地联系起来，再根据题意对泰勒展开式进行处理，从而达到解决问题的目的．使用该法的关键是写出函数在某一点的泰勒公式．

2.2 二元函数泰勒公式在高阶偏导数中的应用

与f(x)为凸函数矛盾. 故此黑赛矩阵在D上为半正定的.

[1] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．3版．北京：高等教育出版社，2001．

[2] 陈守信．数学分析选讲[M]．北京：机械工业出版社，2009．

[3] 吉米多维奇．数学分析习题集[M]．北京：高等教育出版社，1984．

[4] 陈丽．泰勒公式的应用[J]．廊坊师范学院学报：自然科学版，2009，9(2)：20―23．

[5] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，2006．

O172

A

1006-5261(2011)02-0081-02

2010-10-28

赵中（1975―），男，河南驻马店人，讲师，博士．

〔责任编辑 张继金〕