形变质通——小学数学学科文化的思考

张 菁

(天津市河西区马场道小学,天津 300204)

形变质通
——小学数学学科文化的思考

张 菁*

(天津市河西区马场道小学,天津 300204)

教育的终极目标是心育,数学基础教育的目标不是关注学生对外显的数学知识的机械操练,而是从数学知识本质出发,通过提炼出蕴涵在外显的数学知识中的隐性思维方法、人文精神来浸润学生的心灵。在大量数学教育实践的基础上提出了“形变质通”这一数学学科文化,并从数学发展史、数学自身特点、现代数学教育理论等方面加以论证。同时进一步阐述了作为学科文化的“形变质通”的教育功效。从数学学科文化视角提出了数学基础教育中的隐性教育因素。

形变质通;小学数学;学科文化

一、问题的提出

在数学家和数学研究者的研究过程中,数学是一种生动活泼的策略创造,但最终结果,又常常化作一种“程式化”的结果。这种“程式化”的结果尤其多见于篇幅有限的数学教科书之中。在学生所用的数学书中所呈现的众多法则、定理,学生在对其不理解的状态下,照样可以程式化地执行规则。因此,在数学教与学的活动中,教师们普遍关注的是建立在学生解题行动上的显性的解题实践活动。一旦显性的数学知识学习解除,数学能够为学生的日后社会生活留下哪些可以终身受益的精神财富?

小学数学课程相对于日后的数学专业课程而言,是数学学科基础的综合课程,是基础课程。越是基础的越是永恒的,它蕴涵了数学学科总的学科思想文化。

二、形变质通——贯穿数学发展始终的学科文化

在长期的数学教学实践中,在课题研究的基础上,经过反复思考、反复实践,我们最终将数学学科的文化提炼为形变质通的思维方式。

(一)数学是数与形的结合

从小学数学的数、图形的运算到初中的初等代数、平面几何,再到高中、大学的立体几何、解析几何、数学分析、高等代数等,尽管各阶段数学知识的深浅各异,但这些知识无不是研究着数与形。数与形不仅是数学学科的两个重大分支,同时彼此又相互呼应、相得益彰,它们的互通、结合使我们可以通过数、形两个不同的数学知识领域体悟到相同的数学内涵。“数”是某些“形”的注解、“形”是某些“数”的可视性工具。我们知道图像即是函数的外貌,是我们研究一系列函数的有效途径。“数”与“形”的有机结合构成了数学的完整。

(二)同一数学知识会有不同的阶段表征

同一数学知识可以运用不同的形式进行表征。这些不同形式的数学知识的表征,可以出现在学生学习数学的不同阶段。以等差数列求和知识为例,它经历了一年级小学生可以理解的凑十法(如:1+2+3+4+5+6+7+8+9=?),也经历了三年级小学生可以理解的整数乘法(如:13+15+17=15 ×3),当然也可以运用三、四年级学生可以理解的平行四边形(长方形)、梯形的面积来注解。在其经历了不同数学阶段的不同表征之后,发展到了一个永恒的“主题”——等差数列求和公式,即(首项+末项)×项数÷2,而这一公式恰恰是其经历不同数学阶段、不同数学表征所反映的最本质的、最一般的规律。

(三)同一数字符号表达着不同的思维模式

同样的语言文字放在不同的语言环境中,结合人们不同的经历、不同思考问题的角度,人们会对其有不同的注解。其实一语多意的情景,也普遍存在于人们的数学学习过程中。见下面一道数学题的解答:

我国古代算术著作《张邱建算经》中,有一道十分有趣的题目,叫做“有女不善织”。题目大意是:有位妇女不善于织布,她每天织的布都比前一天要减少一些,减少的数量是相等的。她第一天织了5尺,最后一天织了1尺,一共织了30天。她一共织了多少尺布?

解法1:从高中数学知识角度看,这是一道等差数列求和的题目。即,“她每天织的布都比前一天要减少一些,减少的数量是相等的”。说明此位妇女每天织布的尺数是等差递减的。30天织布的尺数形成一个等差数列。此妇女第一天织布5尺,是等差数列的首项;此妇女最后一天织布1尺,是等差数列的末项;一共织布30天,是等差数列的项数。按照等差数列求和公式可得到:(5+1)×30÷2=90(尺)。

解法2:我们可以将解法1放在图形上考虑,利用求梯形面积的方法来解答此题。由于此妇女每日的织布米数是等差递减的,所以当我们将此妇女每天织布的尺数用图形来表示,30天的织布总尺数可以组成一个等腰梯形。见下图:

算式仍为(5+1)×30÷2。此种方法可视为等差数列求和公式的几何意义。

从上题的两种解法中,我们可以看到,算式(5+1)×30 ÷2可以用等差数列求和公式理解,也可用梯形面积公式理解,因而,我们可以感受到同一个数字符号在数学不同知识领域、不同思维模式作用下的不同含义。

(四)看似不同阶段的知识表达同样的知识结构

许多不同阶段的数学知识具有相同的知识结构。如小学一年级的整数加减法、四年级的小数加减法、五年级的分数加减法、初中的整式加减法,尽管加减法所涉及的数域有所不同、计算法则各异,但是相同的计数单位才能相加减是加减法运算的基本结构。进而相同的量级及类别构成了施行加减运算的惟一前提。基于这样的思维方式,才有了整数加减法运算中的数位对齐、小数加减法中的小数点对齐、异分母分数加减法中的先通分、整式加减法中的合并同类项。

从一道数学题的具体解答过程,到运用相同的数学思想解答不同的题目,从不同数学知识体现着相同的数学公理,到数与形的结合,形变质通普遍存在于数学之中。我们感受到数学既具有丰富的变化性,又具有高度统一性,尽管它的形式是变化多样的,但富于变化的形式中却蕴涵了相通的质。形变质通可以看成是数学的一个注解。形变质通可以看成蕴涵在数学中的学科文化。

三、形变质通的理论依据

(一)从数学发展史中感悟形变质通

1.数概念的产生。数概念的产生是经过一系列阶段,舍弃了不同物种的不同表面性,抽象出蕴涵在不同物种中某种共通的东西,即他们的单位性。数学概念是对一类数学对象的本质属性的抽象与概括。

2.解析几何的诞生。1637年,笛卡儿发表了《几何学》,《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法,标志着解析几何学的诞生。解析几何的出现,改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向,把相互对立着的“数”与“形”统一了起来,使几何曲线与代数方程相结合。

3.20世纪数学发展趋势——统一化与应用性。尽管现代数学知识千差万别,在作为整体的数学中,使用着相同的工具与算法,存在着概念的亲缘关系。正因为数学内部的这种统一性,数学家们对联系数学中不同领域与部门、追求统一目标的工作,总是给予高度评价。数学科学的统一趋势将保持下去,并继续成为21世纪数学的重要特征之一。20世纪数学空前广泛的应用,是与它的更高的抽象化趋势共轭发展的。我们看到,一方面数学的核心领域正变得越来越抽象,一方面数学的应用也越来越广泛。

(二)从数学自身特点中体会形变质通

1.数学是模式的科学[1]

这就是说,“数学家是通过模式的建构并以此为直接对象来从事客观世界量性规律性研究的”。

2.数学思维特性[2]

(1)数学思维的概括性。“数学思维能够揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律,能够把握一类事物共有的数学属性。思维的概括性还在于它的迁移性,就是使主体不仅能从部分事物相互联系的事实中推知普遍的与必然的联系,而且能将这种联系推广到同类现象中去”。

(2)数学思维的问题性。“数学解题的思维过程是数学问题的变换过程;数学问题的推广、引申和应用过程是新的数学问题发现、解决的过程,也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程,也是数学文化的发展过程”。

(3)数学思维的相似性。“解决数学问题的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的模式,从已解决的问题中概括出思维模式,再用模式去处理类似问题,并进而形成新模式,构成相似系列,即各种概念、命题与方法的相似链”。

3.数学发展的辩证性。郑毓信先生在其所著的《数学教育哲学》一书中充分论述了数学发展的辩证性。其中数学发展中的独立性与开放性、抽象化与具体性、一般化与特殊化、多样性与一体化,充分体现了形变质通的辩证性。

(三)从现代数学教育理论中感受形变质通

1.大众数学

“大众数学”已成为今后数学教育研究的主要问题之一,但当前未作严格的定义。就我国来说,由于义务教育是所有适龄儿童少年都必须接受的教育,因此,它的数学课程就应该是所有学生都必须学习而且是能够学习的。另外,“大众数学”还体现了数学的应用性。这种应用性,一方面是指人们自觉不自觉在日常生活中所运用的数学知识;另一方面是指运用数学思想、方法去思维、去观察世界和处理问题。

2.数学问题解决

美国关于“问题解决”研究的主要代表人物之一舍费尔德,由于他在国际数学教育会议于1980年召开的第四次会议(ICME-4)上的建议,才把“问题解决”列入会议议程。在事隔四年之后的第五次国际数学教育会议(ICME-5)上,情况就已经发生了很大的变化:“问题解决”已经成为大会最主要的议题之一。“问题解决”已成为学校教育的中心工作。

3.建构主义的数学教育

建构主义原本是一种学习心理学理论,它认为每个学习者本身存在着一个认知结构,外部的知识也是有结构的。学生的认知结构必须和外部的知识结构相一致,才能够接受外面来的新知识,获得学习上的成功。

“形变”可以满足学生个性化的学习需求,帮助学生达到认知结构主客观的统一,易于学生自主建构知识;“形变”促进学生思维开放性的发展,在开放性的思维空间中,有助于学生问题的解决。

“质通”可以促进学生掌握蕴涵在数学知识中的思维方法,可使学生在个性化的知识建构的过程中,体会知识的内在结构,思维的深刻性得到发展,使学生在认知“整合”的过程中,使全部知识汇成一个整体,学会“数学”地思维、“数学”地观察世界、解决问题。

四、形变质通的教育功效

(一)形变质通有助于培养学生的平等意识

学生平等观念、平民意识的培养,不能依靠简单的说教,而是要依靠深刻的认知;它不是能在短时间内形成的,而是要依靠长期潜移默化的文化熏陶。

运用形变质通的数学理念,我们可以在小学、中学、大学等不同阶段的数学知识的学习过程中,把握相同(通)的数学思想、知识结构、认知策略等,我们可以将数学各阶段知识一体化,从而消除“大数学”与“小数学”的距离,建立起各部分数学知识间的联系,促进数学知识间的相互转化。当学生在学习数学的过程中,不同阶段的数学教师所形成的“教师共同体”都能运用形变质通的数学理念进行数学教学,学生在长期的数学学习过程中获取的不仅仅是数学知识、数学能力,获取的更是一种附着在数学知识中的一种文化,一种从数学中产生,进而跳出数学的文化。使学生学会“数学”地看世界,在形变质通的理念中树立平等的观念、平民的意识。

(二)形变质通有利于培养学生探索创新的精神

形式上的“多彩”,本质上的“相通”,是形变质通数学理念的特点。也正因如此,在“相通质”的前提下,我们可以寻找“灿烂多变的形”。在解决同一问题的前提下,我们可以寻找不同的解决方法;在众多的解决方法中,我们可以寻找更好、更适合的方法。形变质通的数学理念为人们解决问题提供了开放的思维空间。开放的思维空间可以打破人们僵化、墨守成规的思维方式,使人们冲出安于现状、裹足不前的保守观念。形变质通的数学理念可以引导人们从多个角度寻求解决问题的方法,促进问题解决的方法的推陈出新,激发人们勇于探索、勇于创新的精神。

(三)形变质通有利于培养学生抗挫折能力

人生需要执著,它是人们前进的源动力;人生需要变通,它能使人化解困难。不变的是信念,善变的是努力的形式,只有将变与不变有机地结合起来,才能使人生绚丽多彩。从这个角度上看,面对数学,形变质通的数学理念不仅可以帮助学生解决数学中的难题;走出数学,它还可以帮助学生解决生活中的难题,它可以保持着人们思想、机体中的平衡,使人们身处千变万化的社会生活中仍能保持情绪的稳定,拥有健康的心理。保持良好的心理状态,增进人们的抗挫折能力,可谓是形变质通数学理念的又一教育功效。

(四)形变质通有助于培养学生的利他性品质

运用形变质通的理念指导数学教学,有利于培养学生的利他性品质。从加德纳的“多元化智力”理论中我们可以得知每个人在智力的优势方面存在着差异,如有的人逻辑思维强、有的人语言能力强等,因此同一道数学题目,不同的人会选取不同的方法来解答,而这每种不同的方法又都是同一数学知识的不同表征。所以,当教师在数学教学过程中,注重从不同的思维角度设计教学,为学生提供适宜的开放性思维空间、搭制交流的平台时,学生获取的不仅仅是数学知识、能力,更能够换角度思考解答问题的方法,也能够将自己的解答方法介绍给与自己解法不同的学生。从而达到在学习资源共享的同时,使学生学会合作、学会变换角度看问题,学会在自信的同时能够欣赏他人,从而培养学生利他性品质。

(五)形变质通有利于丰富学生的情感

实践证明,人的认识越丰富,情感也越丰富;认识越深刻,情感也越深刻。情感是在认识的基础上产生的,没有对某事物的一定认识,就不可能对它有什么情感;同时,只有在认识基础上产生和发展的情感才会反过来推动和加深认识,并把握这一认识规律。情感与认识是相互促进的,所以,通情才能达理。除此之外,情感总是在一定的情境中产生的。情境中各种因素对情感的产生往往具有综合性的作用。当教师善于运用形变质通的数学理念来指导数学教学,能够从同一数学知识的不同表征、不同知识的相同思想等着手设计数学教学,在体现数学知识高度变通性的同时,为学生营造化难为易、化繁为简的思考情境,使学生在思维的一“堵”、一“豁”的瞬间,情感得到丰富。

[1]郑毓信.数学教育哲学[M].成都:四川教育出版社,2001: 48-49.

[2]课程教材研究所,数学课程教材研究开发中心.数学文化[M].北京:人民教育出版社,2003:119-121.

G623.5

A

1671-2277-(2011)04-0058-03

*张菁:天津市河西区马场道小学,天津市未来教育家奠基工程第二期学员。

责任编辑:乔 健