区间估计中一个问题的探讨

胡杨利，赵晓芹

（长沙理工大学 数学与计算科学学院，湖南 长沙 410004）

区间估计中一个问题的探讨

胡杨利，赵晓芹

（长沙理工大学 数学与计算科学学院，湖南 长沙 410004）

讨论了正态总体的均值已知时方差的区间估计.两种方法找到了不同的置信区间，通过举例和分析χ2分布表，对这两个区间进行了甄别.

置信区间；正态总体；方差；χ2分布

概率论与数理统计是高校经济管理类和工科类专业的数学基础课［1］。这一学科的理论和方法几乎渗透了所有科学技术领域。作为一名高校学生，学好这门课程，是非常必要的，这对提高自身数学素养和日后的深造都大有裨益。

在区间估计这一章节，几乎所有的教材都介绍了单个正态总体中参数的区间估计。对于均值的估计，分别讨论了方差已知和未知两种情形；但在介绍方差的区间估计时，几乎都只介绍了均值未知的情形，而对均值已知的情形没有任何说明［2－3］。学生很疑惑，也想知道问题的答案！为了解答学生的疑惑，也为了这部分内容的完整性，下面探讨正态总体的均值已知时方差的区间估计。

问题 设总体X服从参数为μ和σ的正态分布，（X1，X2，…，Xn）为总体的一组样本，给定置信水平1－α，若μ已知，求σ2的置信区间。

解2 对于样本随机变量X1，X2，…，Xn，由于Xi～N（μ，σ2），i＝1，2，…，n，显然是σ2的无偏估计。又μ已知，所以可由此找σ2的置信区间。显然（Xi－μ）／σ～N（0，1），i＝1，2，…，n，那么故对于给定的置信水平1－α，σ2的置信区间为

对于σ2的这两个置信区间，我们该如何选择了下面我们来看一个很常见的例子。

例1 某工厂用包装机包装奶粉，设包装机称得的奶粉重量（单位：克）X服从正态分布N（500，σ2）。随机抽取包装的奶粉9袋，称得净重为499，488，502，503，498，508，504，497，492。给定置信水平95%和90%，分别求σ2的置信区间。

解 计算得x¯＝499，

i）置信水平为95%时，查χ2分布表得

所以置信区间 （1），（2）分别为 （1.79，9 000），（16.56，116.67）。

ii）置信水平为90%时，查χ2分布表得

所以置信区间（1），（2）分 别为（2.34，2250），（18.62，94.74）。

显然，在这两种置信水平下，置信区间（2）都要优于置信区间（1）。是否在任何情况下都有这样的结论呢？

观察χ2分布表易知：给定α，随着n的增大，（n）增大；但对于一般取法的α，（1）很小，远远小于（2），比如所以，在置信区间（1）中，置信上限往往很大，使得置信区间（1）起不到估计的作用［4］。因此，当μ已知时，σ2的置信区间取区间（2）。

［1］魏宗舒.概率论与数理统计教程［M］.北京：高等教育出版社，1983：326－334.

［2］韩旭里，谢永钦.概率论与数理统计［M］.上海：复旦大学出版社，2007：149－152.

［3］茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程［M］.北京：高等教育出版社，2004：321－322.

［4］刘次华，万建平.概率论与数理统计［M］.2版，北京：高等教育出社，2003：184－185.

A Problem about Interval Estimation

HU Yang－li，ZHAO Xiao－qin
（Institute of Mathematics and Computing Sciences，Changsha University of Science and Technology，Changsha Hunan 410004，China）

When the mean of a normal population is given，the confidence interval of this normal population is discussed.Two confidence intervals are found by different methods.From an example and the tabular of chi－square distribution，these two confidence intervals are discriminated.

confidence interval；normal population；variance；chi－square distribution

G633.6

A

1673－0313（2011）06－0146－02

2011－09－24

长沙理工大学校教改资助项目（JG1044）

胡杨利（1976－），女，湖北松滋人，副教授，硕士研究生，主要研究随机环境中分枝过程.