学习《概率论与数理统计》应该注意的若干问题（4）——正态分布在抽样分析中的地位

许道云，秦永彬，刘长云

（ 贵州大学 计算机科学与技术学院，贵州 贵阳 550025 ）

学习《概率论与数理统计》应该注意的若干问题（4）
——正态分布在抽样分析中的地位

许道云，秦永彬，刘长云

（ 贵州大学 计算机科学与技术学院，贵州 贵阳 550025 ）

正态分布是随机变量分布中基础而且核心的分布。中心极限定理支持这样的结果：通过统计的手段，对任一个随机变量的分析和研究，可以借助于正态分布进行。在数理统计的抽样分析中，由（标准）正态分布的统计量的适当组合，产生数理统计中的其他三大基础分布。

正态分布； 中心极限定理； 三大基础分布

为帮助工科学生理解《概率论与数理统计》中的一些基本而且重要的问题，并为教授这门课程的教师提供一些有用的参考，我们按照授课的内容和顺序，以系列文章的形式阐明本课程教学大纲要求内容中的若干问题，以及这些问题在支撑整个教学内容中的联系和地位。

我们所选内容限于《概率论与数理统计》（浙江大学 盛骤等编，高等教育出版社，第三版）的第一章至第八章，将以六篇系列教学研究文章完成我们对《概率论与数理统计》中若干问题和知识点的见解，其中不乏一些在相关参考文献或教科书上没有见到的新见解。教学实践证明：这些见解对教与学是非常有效的。此系列文章的全部内容都融进了我们的教学过程中，整理出来的目的是让后续学生在学习时参考，其主要读者对象是学生。

《概率论与数理论计》作为一门应用数学课程，与其他数学课程一样，有自身的一套“概念建立、性质和定理提炼、计算公式、实际应用”的体系。把握住其中关键概念的内涵以及延伸的逻辑体系和方法，对于本课程的教与学至关重要。

通常，多数学生认为：由于《概率论与数理统计》研究的是随机现象及其统计规律，所以该课程难学。实质上，只要悟透其中每一部分的概念和计算公式的内涵，就足够完成大纲要求的学习内容。从计算的角度而言，只需用到中学阶段已经学过的排列组合、以及大学一二年级学过的《高等数学》中的微积分计算。

我们将以一系列教学研究文章的形式，向学生进一步澄清《概率论与数理论计》中的一些基本概念的内涵，帮助学生进一步悟透这些概念及相关的计算公式以及知识点之间的联系，化难为易，使学生感受到：《概率论与数理论计》课程中要求的计算难度不会高于已经学过的《高等数学》，消除学生对这门课程的“畏难”心态，让学生觉得这门课易学，其计算难度没有超过《高等数学》中的计算难度。同时，提高学生对这门课程的学习兴趣，认识到它在以后实际工作中的作用。

该系列文章由如下六个部分构成：

（1）概率概念的内涵与分解计算；

（2）随机变量与概率分布；

（3）随机变量的数字特征和作用；

（4）正态分布在抽样分析中的地位；

（5）三大分布在数理统计中的地位；

（6）极限性质及其应用。

本文为该系列教学研究文章之四，阐述正态分布在抽样分析中的地位。正态分布是随机变量分布中的基础分布，中心极限定理支持“通过统计的手段，对任一个随机变量的分析和研究，可以借助于正态分布进行”。在数理统计的抽样分析中，由来自标准正态总体样本的适当组合构成的统计量，产生数理统计中的其他三大基础分布（χ2（n）,t（ n）,F（ n, m）分布）。

1.正态分布及其性质

性质（5）在实际应用中经常会用到。如：100名学生参加《概率论与数理统计》考试，正常的结果是考试成绩呈正态分布。粗略地说，指集中在及格以上某个分数段（如 60～79）的人数居多，而高分和低分两端的人数较少。处理方法是将分数范围（0～100）适当分为几个分数段，然后统计各分数段人数，折算出相应比例。通常取分数段为：0～39，40～49，……，80～89，90～100，μ=70,5≤σ＜10进行统计。

实际生活中很多现象表现为正态现象。如：一个人一生中的贡献（或作为）与年龄（精力）密切相关，主要集中在一个年龄段。

2.中心极限定理

基于这样的观察，解释了为什么数理统计中考虑（标准）正态分布的各种统计量下的分布。公式可改写为：

3.数理统计中的四大分布

正态分布、2χ分布、t-分布、F-分布为数理统计中的四大基础分布。后三个分布均来自标准正态分布。

图1 α−分位点

3.1. χ2分布

函数无对称性，当n≥3时，密度函数的图像如图2所示。

图2 2χ−分布密度函数

3.2. t分布

3.3. F分布

密度函数为：

函数无对称性，密度函数的图像为：

图3 -分布的密度函数

从本质上看，F分布仍然来源于标准正态分布。

χ2,t, F分布俗称统计中的三大分布，从源头上看，样本均来自标准正态总体。

4.结束语

本文是我们有关《概率论与数理统计》系列教学研究文章的第四篇。主要强调正态分布在数理统计中的核心地位：中心极限定理支持任意分布总体抽样的算术平均统计量近似服从正态分布；由标准正态总体样本的适当组合构成数理统计中的其他三大基础分布（χ2,t, F分布）。所以，数理统计总是以正态总体作为研究对象展开。

[1] F. Chung, and L.Lu. Complex Graphs and Networks[M].Library of Cogress Cataloging-in-Publication Data,QA166.C484, 2006.

[2] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计——学习辅导与习题选解（第2、3版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4] 谢婧，钮键， 赵辉.概率论与数理统计——全程导学及习题全解（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] M. Mitzenmacher, E. Upfal.概率与计算[M].史道济，译.北京：机械工业出版社，2007.

Several Issues on Studying Probability Theory and Mathematical Statistics （4） - The Status of Normal Distribution in Sampling Analysis

XU Dao-yun, QIN Yong-bin, LIU Chang-yun
（ College of Computer Science and Technology, Guizhou University, Guiyang, Gouzhou 550025, China ）

Normal distribution is base and core in random variable distribution. The central limit theorem supports that any random variable can be analyzed and researched by means of normal distribution via statistical method. In the sampling analysis of mathematical statistics, the appropriate combination of statistics of （standard）normal distribution produces the other three underlying distributions in mathematical statistics.

normal distribution;central limit theorem;three underlying distributions

（责任编辑 毛志）

O211 < class="emphasis_bold">文献标识码：A

A

1673-9639 （2011） 03-0112-05

2010-12-11

许道云（1959-），男，教授、南京大学博士，贵州大学计算机科学与技术学院院长，博士研究生指导教师。主要研究方向为计算复杂性、可计算分析。