一类基于捕食者－食饵种间比率的Kol mogorov模型分析

邓新纳，刘彤，杨霞，刘旭阳

一类基于捕食者－食饵种间比率的Kol mogorov模型分析

邓新纳1，刘彤2，杨霞1，刘旭阳1

（1石河子大学理学院数学系，石河子832003；2石河子大学生命科学学院，石河子832003）

本文研究一类基于捕食者和食饵比率的Kol mogorov方程模型。以古尔班通古特沙漠中梭梭和大沙鼠种间关系为原型，建立了考虑比率在一定范围内捕食者对食饵具有刺激生长作用的Kol mogorov方程模型，分析了其正平衡点的稳定性，给出了其稳定的充分条件。

基于比率的捕食者－食饵系统；Kol mogor ov方程模型；正平衡点；稳定性分析

近年来，关于捕食者和食饵之间的相互作用主要影响因素（捕食者的捕食能力、食饵的丰富程度、数量比例关系、密度比例关系）在生物和数学界展开了大量的讨论［4－5］，随之而来大量的生物数学工作者对基于比率的种群作用模型投入了更大的热情［6－9］，目前基于比率的模型主要集中于对功能性反应方程的研究。

在古尔班通古特荒漠中，梭梭是一种优势种，梭梭的数量和覆盖率对当地的防风固沙和生态平衡都起到重要的作用，而当地的沙漠野鼠主要以梭梭的枝桠、种子等为食。野外观察和实验发现，梭梭被野鼠啃噬过的枝桠会长得特别旺盛［10］，鼠类的掘洞、储食、排泄等活动对荒漠土壤的微环境也有显著改善，并有利于植物种子的传播和扩散［11－12］，所以野鼠作为梭梭的捕食者，其活动和轻度取食会对梭梭的生长繁殖起到促进作用，而其大量存在和重度取食又会破坏梭梭的生长。因此，我们用捕食者和食饵之间的比例来近似表示大沙鼠对梭梭的取食程度，建立一类食饵受比例关系影响的捕食者和食饵间的Kol mogorov方程模型。

考虑如下的Kol mogor ov模型

上式中：x、y分别表示t时刻食饵和捕食者的生物量（盖度或密度）（x（t）≥0，y（t）≥0），a、b、c、d、e、f、N都是正参数，a和N是食饵在没有捕食者时的内禀增长率和自然平衡点，c、d分别是捕食者的死亡率和依赖于x的出生率，是捕食者对食饵的单位作用量，b是作用系数，e是临界比例。

当0＜y＜ex时，捕食者对食饵的作用是正的，当y＞ex时，捕食者对食饵的作用是负的，令＝u，u代表捕食者和食饵之间的比率，则方程中作用项

记其为φ（u），显然有

2 模型的平衡点分析

系统（1）的平衡点有（0，0）、（N，0）、（x＊，y＊），其中正平衡点（x＊，y＊）有多种情况，且x＊和y＊满足：

2.1 一个正平衡点

当x＊＜N时，即使得y平衡的x的值小于x的自然平衡点时，系统（1）的正平衡点只有一个点，为：（显然当l≥1时无解）。

令X＝x－x＊，Y＝y－y＊，系统（1）在（x＊，y＊）附近的线性化系统可转化为以下系统在（0，0）点附近的情况：

式（3）中：

令

引理1：原点（0，0）是系统（3）的结点或焦点，且其稳定的充分条件是：3（1－b）u＊2＋6（1－b）f u＊＋3f2＋2bef＞0，其中

证明：由y＊和x＊之间的关系，易得q＞0，故（0，0）是系统（3）的结点或焦点，而由于

故当3（1－b）u＊2＋6（1－b）f u＊＋3f2＋2bef＞0时，p＞0，由平面线性系统的奇点理论，此时系统（3）是稳定的。

定理1：系统（1）在其正平衡点（x＊，y＊）附近的稳定性和线性系统（3）在原点处的稳定性一致。

根据非线性常微分方程的稳定性理论，定理易证。

2.2 两个正平衡点

式（4）、（5）中：

引理2：原点（0，0）是线性系统（4）的结点或焦点，且其稳定的充分条件是：

证明：易得q1＞0，故（0，0）是系统（4）的结点或焦点。由于

当3（1－b）u1＊2＋6（1－b）f u1＊＋3f2＋2bef＞0时，p＞0，由平面线性系统的奇点理论可知此时系统（4）是稳定的。

引理3：原点（0，0）是线性系统（5）的鞍点。

证明：易见q2＜0，故原点是线性系统（4）的鞍点，因此它是不稳定。

类似于定理1，有系统（1）在两个正平衡点（x＊，y1＊）（x＊，y2＊）附近有：

定理2：系统（1）在（x＊，y1＊）处的稳定性和线性系统（4）在原点（0，0）处的稳定性一致，系统（1）在（x＊，y2＊）处的稳性和线性系统（5）在原点（0，0）处的稳定性一致。

3 讨论

本研究中基于食饵和捕食者比率的Kol mogorov模型是根据古尔班通古特荒漠中植被梭梭和野鼠之间相互作用的关系而建立的。荒漠的生态环境恶劣，其中植被的覆盖率低，适量的野鼠能够刺激梭梭的生长并改善环境，图1是取a＝0.3，b＝1，c＝0.4，d＝1，e＝3，f＝1，N＝1／3时得到的稳定系统相图。

图1 系统的相图Fig.1 Integral curve of the system

在所研究的系统中，当 N＜x＊＜N（1＋时，即要维持鼠类数量平衡的植被数量大于自然平衡点（或者说是恶劣环境下环境对植被的维持量）时，鼠类的适度作用将刺激梭梭的生长，使系统稳定于平衡点（x＊，y1＊），可以说正是有了野鼠和其它的小动物，促进了沙漠植物的生机。

本研究的模型考虑了一个特殊的食物链，食饵和捕食者之间除了掠食外，还有一定的刺激增长作用，而不是单纯的捕食模型或互惠模型，模型的使用范围及其本身仍需完善。

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Kol mogorov Model based on the Ratio of Predator-Prey

DENG Xinna1，LIU Tong2，YANG Xia1，LIU Xuyang1
（1 Depart ment of Mathematics，School of Science，Shihezi University；2 Life Science College，Shihezi University，Shihezi 832003，China）

A ratio-dependent predator-prey Kol mogorov equation model was studied in this paper.Originated fro m the relationship of Haloxylon ammodendron and Rho mbinys opi mus in Gur bantong Desert，and a Kol mogorov equation model considering the predator sti mulated the prey's growth in certain ratio range was established；its positive banlance points were analyzed and sufficient conditions of the points'stability were derived.

ratio-dependent predator-prey system；Kol mogorov equation model；positive equilibrium points；stability analysis

O175.1

A

1007-7383（2011）04-0518-03

2011-04-25

国家科技支撑计划项目（2007BAC17B03），石河子大学高层次人才科研启动资金项目（RCZX200746）

邓新纳（1982-），讲师，从事微分方程及其应用的相关理论研究；e-mail：dengxinna＠shzu.edu.cn。