幂律流体在可渗透性管壁圆管中的流动

肖 明

（湖北第二师范学院 物理与电子信息学院，武汉 430205）

幂律流体在可渗透性管壁圆管中的流动

肖 明＊

（湖北第二师范学院 物理与电子信息学院，武汉 430205）

为了解幂律流体在可渗透性管壁圆管中的流动机制，基于广义达西定理和幂律流体的本构方程，通过严格数学推导，得到了幂律流体在具有渗透性管壁的单根圆管中流动的速度分布和流量分布表达式.研究结果表明：幂律流体在可渗透性管壁的圆管中流动时的流量将比在刚性管壁圆管中的流量大，并且还得出幂指数n越大，通过圆管中的流量也越大的结论.

幂律流体；渗透的；本构方程；哈根－泊肃叶方程

长期以来，由于非牛顿流体在油田开采和生物医学等工程与科学应用领域得到了日益广泛的应用，人们越来越多地使用非牛顿流体如聚合物溶液、泡沫液和乳状液等作为驱油剂来提高采油量［1-6］；在生物渗流和工程渗流中，非牛顿流体更具有普遍性，例如，血液在血管中的流动，就明显呈现出其具有非牛顿流体的特性［7-8］.因此，非牛顿流体在单根圆管中的流动特性的研究就成了广大学者关注的热点.凡是满足流体应力－应变关系式τ＝的流体，都被称为牛顿流体，其中τ为剪切应力为应变率，μ为动力粘度.牛顿流体具有一个可严格称之为粘度的特性参数，即牛顿应力－应变关系式中的μ.并不是所有的流体都满足牛顿应力－应变关系，把不服从牛顿应力－应变关系的流体统称非牛顿流体.幂律流体是非牛顿流体中的一种，自然界中常见的幂律流体有人体的血液、胶体、牛奶、凝胶等.而所有的非牛顿流体，其本构方程都要求有两个或两个以上的特性参数.为了方便起见，通常引进一个所谓非牛顿流体的视粘度，其视粘度定义为切应力与应变速率绝对值˙γ之比，用μa表示，即μa＝.幂律型流体的本构方程为τ＝，根据视粘度的定义，幂律型流体的视粘度μa＝，其中τ、˙γ、n、μa、μ分别为剪切应力、应变速率、幂指数、视粘度和稠度系数.当n＝1，幂律型流体的本构方程退化成牛顿流体的本构方程式；n＜1，代表拟塑性非牛顿流体；n＞1，表示膨胀性非牛顿流体.稠度系数μ的范围通常在103Pa·sn（聚对苯二甲酸乙二酯树脂）到105Pa·sn（高粘度硬聚氯乙烯），其中n为幂指数.对于石油工程的钻井完井液，幂指数n通常取值在0.2～1之间.

Zhang等人［3］基于多孔介质具有分形特征的事实，提出了幂律流体在多孔介质中渗透率的分形模型.Balhoff和 Thompson［9］用有限单元方法模拟了轴对称收缩管道中幂律流体的流动.Yun等人［10］从理论上分析了幂律流体在单根收缩毛细管中流动情况，并给出了幂律流体的速度分布和流量分布的分形解析表达式.Vajravelu等人［11］研究了Bingham流体在管壁具有可渗透性圆管中流动情况，并得出了流体的速度表达式和流量表达式.Govier等人［12］研究了幂律流体在单根毛细管中的流动，但是他们并没有考虑到毛细管的管壁渗透性影响；然而这些影响将会对人体健康造成严重问题，譬如由于动脉壁中胆固醇的沉积和结缔组织的增生一方面会引起斑状硬皮等疾病；另一方面还会在一定程度上阻碍血管中血液的流动.本文主要考虑了管壁渗透性影响，详细推导幂律流体在单根圆管中的速度和流量的解析表达式.研究结果表明幂律流体在圆管中的流速和流量取决于管壁的渗透率k，并得出幂律型流体在可渗透性管壁的圆管中流动时流量将比在刚性管壁圆管中流量大，随着幂指数n的增加，通过圆管中的流量也增加的结论.

1 幂律流体在可渗透性圆管中的流量

考虑幂律流体在一段具有渗透性管壁的圆管中流动，设圆管内径为R，管壁是均质的各向同性多孔介质，其渗透率为k.若在圆管的两端压降为Δp，则流体就会在压力梯度作用下在圆管内沿轴向流动.如图1所示为幂律流体在单根圆管中流动示意图.设幂律流体沿z轴流动，流体在圆管内半径为r处受到与流动方向相反的剪切力τ.在圆管内取半径为r的一段圆柱体流体，根据圆柱体中流体受力平衡得

图1 幂律流体在单根圆管中流动示意图Fig.1 Schematic of flow for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall

剪切力τ的大小为

幂律流体的本构方程为［12］

联立方程（2）和（3）并整理得

边界条件为［13］

式中，vB为壁面处的滑移速度，α为滑移参数.

对于流体在管壁多孔介质区域的流动，满足达西定理

式中，k为多孔介质材料的渗透率，μa为幂律流体的视粘度（μa＝μ0˙γn－1）；QV为流体流过单位横截面积的体积流量，此处的QV代表流体在多孔介质中的渗透速度，而不是流体在多孔介质中真正的流速.

方程（4）两边积分，并代入边界条件（5a）

根据边界条件（5b）和方程（4）可以得到滑移速度vB的大小：

通过可渗透性圆管的总流量为

图2为根据方程（10）比较幂律流体在可渗透性圆管中和刚性管壁圆管（k＝0）中流量与压强降的关系.其中非牛顿流体的稠度系数μ0＝0.1，圆管壁的渗透率大小为k＝10－12m2，管壁的滑移参数α＝0.1，幂律流体的幂指数n＝0.3，圆管内半径r＝10－6m.从该图中我们可以看出，幂律流体在管壁可渗透性圆管中的流量要比刚性管壁圆管中流量大，这与文献［14］给出的结论相一致，这可能是因为圆管壁外的幂律流体通过管壁多孔介质流入圆管内的流量大于从圆管内流出的流体流量.

图2 幂律流体在可渗透性圆管中流量与压强降的关系Fig.2 Flow rate vs.pressure drop for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall

图3显示了幂律型流体（n＝0.8）和牛顿流体（n＝1）在可渗透性圆管中流量随压强降的变化关趋势图，该图表明了无论是幂律流体还是牛顿流体，它们的流量都随圆管两端的压强差的增加而增加，并且幂指数n越大，流量就越大.这是因为幂指数n是流体的非牛顿特点程度的量度，n越大，流体的非牛顿特性程度就越弱，流动的粘滞阻尼越小，因此通过可渗透性圆管的流量也就越大.

2 结果分析与讨论

图3 比较幂律流体和牛顿流体在可渗透性圆管中流量随压强降的变化关系Fig.3 Comparing flow rate for power－law fluids with that for Newtonian fluids through a circular pipe with permeable wall atμ0＝0.1mPa·s，k＝10－10 m2，α＝0.1，r＝10－6 m

1）若管壁是刚性的、具有不可渗透性，则渗透率k趋近于0，根据方程（6）和（9），此时管壁的滑移速度vB趋近于0，此时通过圆管的总流量为：

此结果正好与Govier G.W.等人［12］得出的幂律流体在单根毛细管中流量结论一致，从而验证了本文对边界条件设置的合理性和推导过程的正确性.

2）当n＝1，该非牛顿流体蜕变为牛顿流体，根据方程（9），此时壁面的滑移速度为

将方程（12）代入方程（8），得出牛顿流体在圆管内径r处的流速为

将n＝1代入方程（10），并假设管壁是刚性、不可渗透性的材料，即vB＝0，方程（10）可以化简为

这正是圆管中完全发展的不可压缩层流所满足的Hagen－Posieulle方程［15-16］.

3 结论

本文通过理论推导得到了幂律型流体在具有渗透性管壁单根圆管中流动的速度和流量的解析表达式，结果表明其速度和流量不仅与幂律流体的幂指数n有关，还与管壁的渗透率k及圆管的半径R有关，这些都与物理实际情况相吻合.该理论模型可能为石油工程、生物系统（譬如支气管树、血管系统及其与之相关的一些真实物理系统等）等提供一些有价值的理论指导.当然，实际的血管系统可能是由一些血管组成分叉网络，如果考虑这些分叉管道管壁的渗透性，研究幂律流体在由这种可渗透性管壁组成的分叉网络中的流量和速度分布问题，将会是更有实际意义的课题，这方面的工作正在进行中.

［1］Chang J，Yortsos Y C.Pressure－transient analysis of fractal reservoirs［J］.SPE Form.Eval，1990，5（1）：31－38.

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Power－law fluids flow in a circular tube with naturally permeable walls

XIAO Ming
（School of Physics and Electronic Information，Hubei University of Education，Wuhan 430205）

In order to understand the flow behavior mechanics of power－law fluids，the analytical expressions of velocity and flow rate for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall are derived based on generalized Darcy's law and constitutive equation for power－law fluids.It is found that the flow rate for power－law fluids through a circular pipe with permeable wall is larger than that through a circular pipe with impermeable wall and the flow rate increases with the increase of power index n.

power－law fluids；permeable；constitutive equations；Hagen－Poiseuille equation

O373

A

1000－1190（2011）04－0561－04

2011－05－21.

＊E－mail：mxiaohwbei＠sina.com.