直线运动模糊图像复原的截断奇异值分解方法

周 俊，吴传生，朱华平

（武汉理工大学 理学院，武汉 430070）

通常，由平移不变模糊函数和噪声所导致的图像降质离散模型可表示为

其中，f（k，l）为M×N 的原始图像；g（i，j）是带有噪声的模糊图像，大小为（2 m－1）×（2n－1）的h（s，t）为成像系统的二维点扩散函数（PSF）.

为减少图像边界处的振铃现象，本文假设原始图像具有Neumann边界条件（反射边界条件）.假定离散的点扩散函数h（s，t）是对称的（散焦模糊、水平运动和垂直运动模糊所对应的点扩散函数是对称的），此处的对称是指

模型（1）可以转化为如下模型：

1 具有对称性的点扩散函数的图像复原的 TSVD 方法［3－7］

sR2（M－1）×2（N－1）表示2（M－1）×2（N－1）的实对称矩阵，此处的对称是指：X ∈ R2（M－1）×2（N－1），

以F ∈sR（2M－2）×（2N－2）表示f ∈ RM×N的偶延拓，将h周围补零扩充为M×N的矩阵并延拓为（2 M－2）×（2 N－2）的矩阵，记为H，如下所示：

显然 H ∈sR（2M－2）×（2N－2）.

“否”在《齐》中未见，“否”在《周》中仅4见，位于句末作否定副词，此用法在《国语》中已经出现，“‘否’是一个用法较特殊的否定副词：它不作状语，用于肯定否定迭用的句子中，表示否定的一面。”[5]《战国策》中“否”也是此用法。例2“否”位于疑问句末时省略谓语中心，可补全。

以Fext，Hext表示F与H的周期延拓满足，显然Fext，Hext满足

将模糊图像g以图像中心点作为对称中心进行对称交换并延拓为（2 M－2）×（2 N－2）的矩阵，记为G，从而模型（2）可转化为以下解卷问题：

对于X ∈Cp×q，离散卷积算子TX：Cp×q→Cp×q定义如下：

于是式（3）写成

此处

通过计算方程（4）的正则解，可得到复原的图像.

因为H是对称的，TH的奇异系通过余弦变换容易得到，从而得到如下的TSVD算法：

步骤1 H0＝DTC（H（1：M，1：N）），

步骤2 k＝k＋1，按如下公式计算矩阵S：

步骤3 如果β（ik，jk）＜α转步骤4，否则转步骤2；

步骤4 计算fk＝IDCT（Sk），fk即为复原的图像.

2 直线运动模糊图像复原的TSVD方法

任意方向直线运动模糊所对应的点扩散函数并不是对称的，所以以上方法并不适用，下面考虑将不具有对称性的任意直线运动模糊转化为具有对称性的水平直线运动模糊.目前已有许多关于任意方向直线运动模糊的点扩散函数的参数的确定方法［8－11］，本文假设点扩散函数的参数已知，即已知模糊的角度θ和模糊的长度I.

而直线运动模糊图像仅仅由该运动方向上的像素相互作用形成，沿角度θ方向，以1像素为步长作一系列平行直线，对模糊图像进行划分，每条直线上的像素按从图像顶部到图像底部的顺序进行排列，这样就构成了一个水平像素列，而该直线上的运动模糊近似可看作水平直线运动模糊，即该水平像素列可以看作由水平直线运动模糊形成，水平直线运动的模糊参数（模糊长度）仍然为l.转化示意见图1.而水平直线运动模糊的点扩散函数是对称的，从而可以利用TSVD方法复原模糊图像.

任意方向的直线运动模糊转换为水平直线运动模糊可以采用以下简单方法：将模糊图像进行－θ角度的旋转，则模糊方向变为水平，对每一行分别进行复原，然后进行θ角度的旋转即可得复原图像.

图1 任意方向的直线运动模糊转换为水平直线运动模糊Fig.1 Transform random orientation＇s linear motion’s fuzzy image into horizontal orientation＇s linear motion’s fuzzy image

上述TSVD算法可改写为如下算法：

步骤1 沿θ方向以像素为单位作一系列平行直线划分模糊图像g，把每条直线上像素按从上到下的顺序排列成一行，假设共有R行，则得到R个行向量，记为Gr（r＝1，2，…，R），模糊长度为l，可得水平直线运动模糊的点扩散函数h，对h进行延拓 记 为 H，H0＝ DTC（H（1：M，1：N）），βi，j＝H0（i，j），对｜βi，j｜从大到小排序，即：β（i1，j1）≥β（i2，j2）≥ …β（in，jn）r＝0；

步骤2 r＝r＋1，G0＝DCT（Gr），

步骤3 k＝k＋1，按如下公式计算矩阵S

步骤4 如果β（ik，jk）＜αr转步骤5，否则转步骤3；

步骤5 计算fk＝IDCT（Sk），把fk转换到相应图像位置，记为F；

步骤6 若r＜R，转步骤2，否则转步骤7；

步骤7 F即为复原图像.

3 图像恢复实验

实验由Matlab 7.0实现，算法中τ＝1.5，复原图像fk的相对误差定义为

大小为256×256的原始图像f为Matlab中的＇cameraman＇图像（见图2）.

图2 原始图像Fig.2 Primitive image

实验中，原始图像被长度为10、角度为30的离散点扩散函数模糊，所得模糊图像大小为246×246.CPU运行时间为1.094 000s，复原图像的相对误差为0.007 6，运动模糊图像及复原图像见图3和图4.

图3 长度为10、角度为30°的模糊图像Fig.3 Fuzzy image whose length is 10 and angle is 30degree

图4 复原图像Fig.4 Image restoration

4 结论

本文的方法是将任意方向直线运动的模糊图像沿模糊角度的方向用一系列平行直线进行划分，把每条直线上的运动模糊看做水平直线运动模糊，分别采用TSVD方法进行复原，TSVD方法的最大优点是对噪声不敏感，可以有效避免噪声对复原图像的影响.通过数值实验表明，该方法对任意方向直线运动模糊图像的复原问题有很好的效果，而且速度很快.但是本文的方法依赖于模糊长度与模糊角度这两个参数，参数的准确性对复原效果的优劣有很大影响.

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