中学数学课堂探究教学例谈

　　摘要：在数学思想指导下，从旋转对称与数形结合的角度，以单位圆内三角函数的定义为切入点，通过探究与发现实现引导学生独立推导出诱导公式，将代数的公式置于几何的图形中理解的教学目标。
　　关键词：对称思想；课堂教学；探究与发现
　　
　　以新课程为核心的教育改革，全面更新了基础教育的理念，以接受与探究相融合，激发学生学习的主动性为主要思想的课堂改革，改变了原有的教学模式。弗莱登塔尔认为：学习数学的惟一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人将所要学的东西自己发现或创造出来；教师的任务就是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。深入理解课程标准，了解数学知识的背景，准确把握数学概念的内涵，区分核心与非核心知识，将数学教学置于数学思想的指导下，从根本上提高学生的数学素养，这是新课程对数学教师提出的要求。
　　通过多年的教学积累，深入学习课标对这一内容的处理方式，从系统的高度重新审视这一内容，笔者认为“对称”才是这一部分内容所揭示的核心思想。在此观点下，教材对这一章内容的调整，以下几点值得教师深入体会：
　　一、揭示核心思想：对称
　　1.加入了三角函数在单位圆内的定义。从几何的角度理解和认识三角函数的定义——x=cosα，y=sinα就是对圆的动态解析，这与解析几何中圆的参数方程，向量与复数的三解形式取得了一致，让这一知识体系统一在数学的大系统之中。
　　2.移开和差倍公式的设置，弱化数学技巧的同时，强化了数学思想，让三角函数的概念之间的关系更紧密。将单位圆引出的三角函数从圆内的旋转与对称，上升为函数的周期性变化规律。而实现这一转化的关键是诱导公式，大坐标系这天研究工具下，从坐标系内的角的终边对称这一几何特征，转化为角和、差的关系：α±β=2kπ；α±β=2kπ+π，进一步通过定义上升为三角函数值的符号变化：sin（π±α）=±sinα；cos（π±α）=cosα，最后升华到坐标系内的三角函数图像的周期性特征。
　　3.在单位圆内定义三角函数，使学生理解三角函数线的难度降低。由数量表示的坐标，转化到几何特征的三角函数线，实现了代数到几何的转化，这使得从单位圆内平移三角函数线作图的方法顺理成章，而不显得突然。通过几何与代数的相互转化，体现了三角兼有几何和代数的特征，是数与形的统一。
　　4.凝结着数学思想的概念成为联系全章知识的关键。终边相同角体现着角的分类标准从大小分类到终边位置分类的转变。而实现这一转变的关键是在坐标系的研究环境下，角的决定因素从三个（始边、顶点、终边）退化为一个终边；终边相同角又是三角函数定义的基础：定义中只关心角的终边位置，并没有提到角的大小。因而终边相同角才是核心概念，它所体现的位置分类的原则是达到全章和谐统一的关键，因而教学的重点是通过对概念的教学，让学生体会概念所传达的数学思想。
　　基于上述认识，笔者认为诱导公式的教学应该更多的是体现三角函数的对称性，避免在低层次的运算技巧上的重复。诱导公式所体现的是圆的中心对称性和坐标轴对称性，结合三角函数的定义实现从几何到代数转化的关键。通过分析新课标对这一部分内容的呈现方式，结合自己的理解和对课本内容的挖掘，利用数形结合的方法，将公式的推导过程与三角函数的定义与直角坐标系内的单位圆相结合，利用对称和图形的特点来讲解三角函数中的诱导公式，收到了较好的教学效果。
　　二、寻求教学起点：提出构想
　　首先是让角在直角坐标系内旋转的构想。循着这一构想让角在直角坐标系内无法体现出大小的区分，因而终边相同角的位置分类顺理成章地登上了舞台；这时的角在直角坐标系内成为一条射线，进而引导学生分析出在直角坐标系内终边决定角这一根本的思想。在这一思想的指导下，从几何的角度出发探究出了角的终边对称。在坐标系内这五个角对应着四个特征方向，我将其称为定位角。类比生活中的东南西北的定位方式，让学生体会东方是太阳升起的地方，也是一天开始的时候。这就是一个角的始边所处的位置，所有的角都是从这一个位置开始的，并且周而复始，从来没有停止。让学生通过旋转来区分这四组角是关于坐标轴对称的角，每一个角对应着一个象限，即当我们认为α为一个锐角的时候，π-α；π+α；2π-α（-α）分别对应于角α在第二、三、四象限内的对称角，并且随着角α的旋转，依次跑遍整个坐标平面。
　　其次是设计三角函数的定义的构想。π，这五个角的正弦值与余弦值分别对应于单位圆与坐标轴的交点的坐标，找出其中关键的值0和1，并依此推导出三角函数值的符号的变化规律——正弦值的符号与y轴的符号变化一致，将其归纳为上下方向：余弦值的符号与x轴的符号变化一致，归纳为左右方向。进一步探究角的终边在关于x轴对称时，正弦值的符号相反，角的终边关于y轴对称时正弦符号相同；角的终边关于x轴对称时，余弦值符号相同，角的终边关于y轴对称时，余弦值符号相反。通过几何画板分析演示与分析四组结构角的终边位置的对称特征，以及这一特征所揭示的同名三角函数值之间的关系，近而总结出结论：这些角的同名三角函数值的绝对值相等。在得出结论后，我要求学生写出角度为30°、45°与60°的其他对称的角（为了让学生能够快速投入到思考中，我选用了学生比较熟悉的角度制），学生分组讨论。学生完成后，提出一个问题，让学生用一个比较简单的方式来求出30°、150°、210°、330°和-30°的三角函数值。
　　待学生完成后，让学生分析产生一现象的原因，并结合三角函数的定义试着说明这一现象，引导学生发现这一现象出现的原因是这些角的终边对称。也正是由于对称，而使各三角函数的同名三角函数的值只相差一个符号；深化引导学生分析是什么导致了符号的变化，经过同学们的分析和争论与教师的适当引导，导致符号发生变化的原因是由于三角函数的定义中用的是角的终边上点的坐标的符号不同，从而得出是角的终边决定了三角函数的符号。
　　在推导过程中，学生推广这一结论到α角时，有不少学生都能够将各对称角用π-α、π+α、2π-α、-α这些结构角来表示，并由此推导出了诱导公式，并归纳出解题三步曲：
　　（1）一拆角成结构对称角（学生的总结），判断结构角的位置；（2）二看函数名称定符号；（3）三定名称变与不变。
　　按照这三个步骤，学生能够很快地运用诱导公式解决问题，避免死记公式而带来的运用不灵活的问题。
　　从理念的更新到课堂教学的具体实现，这中间还有很大的空间。而这一空间要求我们教师来填补，深入学习课程标准，研究挖掘教材所展示的数学思想，将课堂教学立意提高数学思想和系统的高度；结合学生的实际，选择好一个合适的切入点，让学生的体会真正的学习，激发学生的学习热情，从而达到提高学生的数学能力的目标。
　　参考文献：
　　［1］ 章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考，2010，（3）.
　　［2］ 孙维刚.我的三轮教育教学实验［M］.北京：北京教育出版社，1999.
　　［3］ 王义堂，田保军，王硕旺.新课标理念与教学策略［M］.北京：中国言实出版社，2003.