构造向量证明竞赛中的分式不等式

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(枞阳横埠中学 安徽安庆 246725)

构造向量证明竞赛中的分式不等式

●章礼抗

(枞阳横埠中学 安徽安庆 246725)

在数学竞赛中,不等式问题一般都难以下手.这里笔者运用m·n≤|m||n|证明数学竞赛中的一类分式不等式，望读者能从中得到启发.

1 m·n≤|m||n|直接应用

(1990年日本IMO选拔赛题)

从而

推广(1)把条件a+b+c=1变为a+b+c≤1,命题仍然成立.

从而

因此

(第20届IMO试题)

例4设a，b，c，d是满足ab+bc+cd+da=1的实数，求证：

(第31届IMO预选题)

则

因此

其中

∑a(b+c+d)=2(ab+bc+cd+da+ac+bd)≤3(a2+b2+c2+d2).

故命题得证.

(第42届IMO试题)

(1984年高中数学联赛试题)

(1991年亚太地区数学竞赛试题)

(第26届独联体数学奥林匹克竞赛试题)

3 2种形式都可证明

(第36届IMO试题)

证法1因为abc=1,所以

于是原不等式可变形为

即

(《数学通报》2006(6)问题1 613)

解原不等式等价于

由|a|+|b|+|c|≥|a+b+c|,得

由此证明该命题可推广为：

这类构造向量证明分式不等式类型的方法，关键是要对先要证的不等式进行仔细地分析，然后才构造向量.