球面波照射下光栅和透镜光学系统的Talbot效应

王淮生

(上海电力学院数理系，上海 200090)

球面波照射下光栅和透镜光学系统的Talbot效应

王淮生

(上海电力学院数理系，上海 200090)

研究了在球面波照射下光栅和一个透镜构成的光学系统的衍射特点，给出了光学系统Talbot自成像的条件及光学系统自成像周斯变化的规律，并以振幅光栅为例给出了从低密度光栅生成高密度光栅的条件。研究表明光学系统Talbot自成像的性质不仅与球面波的距离有关，而且与透镜的焦距和位置密切相关。由于通常研究的是在平面波照射下光栅的Talbot效应，因此关于球面波照射下光栅和透镜系统Talbot效应特性分析将进一步完善光栅的Talbot效应理论。

球面波;光栅; 透镜；Talbot效应

1836年Talbot研究发现当一个周期性的物体例如一个光栅在平面波照射下，由于光栅的衍射，会在光栅后面一定的距离z处出现光栅的像，这种现象称为Talbot 效应。Talbot距离z可表示为：

式中，λ表示光的波长；d表示为光栅的周期；n为任意正整数。

Talbot 效应[1]是光学中一个有一定历史的研究课题。近几十年来，由于光学信息科学技术的发展又引起人们的重视，Talbot 效应也广泛应用在图像合成[2]、通讯[3～5]、角度精确测量[6]、图像的压缩[7]和光波导[8]中。通常，对其主要研究是单个光栅在平行光照射下的Talbot 效应，而文献[9]研究了在平面波照射下光栅和单透镜系统的Talbot效应。下面笔者研究将光栅和单透镜系统的Talbot 效应推广到球面波照射下的情况。由于球面波的点光源的距离可以变化，这对于调节系统的Talbot自成像是十分有用的。

图1 在球面光波照射下的光学系统

1 球面波照射下光栅和透镜光学系统

由一个光栅和一个透镜组成并被球面光波照射的光学系统如图1所示。其中，S为点光源；光栅位于Σ1平面；透镜位于Σ2平面；观察平面位于Σ平面；d0表示点光源到光栅的距离；d1表示光栅到透镜的距离；z表示透镜到观察平面的距离。文献[9]中从透镜到观察平面的中间有一个频谱面，在这里为简单起见，直接分析从透镜到观察平面，中间不需要一个频谱面。

2 光栅和透镜系统在点光源发射的球面波照射下的衍射方程

为简单起见，这里仅讨论一维问题。设光栅的透射函数为T(x)，由于T(x)为周期函数，展成傅里叶级数为：

T(x)=∑ncnexp(i2πnx/d)

(1)

为了方便比较，下面分析光栅在平行光照射下的衍射情况，单透镜衍射系统如图2所示。

图2 在平行光照射下单透镜衍射系统

假定光栅位于平面Σ1并被平面波照射，利用光学理论中Fresnel衍射方程[10]，则在距离z′处衍射光场φ(x′,y′)为：

式中，(x1,y1)位于Σ1平面；(x′,y′)位于Σ′平面；C1为常量。

将式(1)代入式(2)，并利用积分公式：

式(2)可化简为：

φ(x′,y′)=C2∑jcjexp(i2πjx′/d)exp(-iπλj2y′/d2)

(3)

式中，C2为一个常量和相位函数的乘积。

下面将分析光学系统(如图1所示)在球面波照射下的衍射情况。

Σ1平面的光波函数为球面光波函数和光栅透射函数的积：

(4)

式中，C3为一个常量。

ψ1经过一个Fresnel衍射到达透镜平面Σ2的左边，透镜平面Σ2的左边光波函数为：

(5)

式中，f为透镜的焦距。

ψ2经过一个Fresnel衍射到达观察平面Σ，利用光学理论中Fresnel衍射方程[10]可得Σ上的光波函数为：

ψ=C4∬ψ2exp(iπ[(x-x2)2+(y-y2)2]/λz)dx2dy2

(6)

式中，C4为一个常量。通过式(4)、(5) 和(6)的计算，可以得到：

(7)

3 Talbot自成像的条件

由式(7)知系统的自成像条件为：

(8)

式中，m为正整数。

系统自成像的周期d′为:

d′=d/Δ1

(9)

当d0→∞时，球面波过渡到平面波，式(8)和式(9)变为：

(10)

(11)

这与文献[9]中的结论是一致的。

再将光学系统的自成像条件与单透镜的自成像条件作一比较。由式(3)可知，单透镜在平行光照射下自成像条件为：

(12)

式中,n为正整数。

比较式(8)和式(12)知，光学系统的自成像距离是一个综合因素，即与实际距离z有关，也与点光源的距离d0，透镜的焦距f及透镜到光栅的距离d1有关。而由式(8)可知，光学系统的自成像的周期同样与上述因素有关。

4 从低密度光栅生成高密度光栅的条件

下面讨论一振幅光栅，设开口比为1/M，M为正整数。光栅的透射函数为:

图3 矩形函数示意图

(13)

式中，Rect为矩形函数。矩形函数示意图如图3所示。

光栅的透射函数的傅里叶级数为：

(14)

这里An=sin(πn/M)/(πn)。系统的自成像条件由式(8)决定，而系统的自成像的周期由式(9)决定。由式(9)知，当:

(15)

成立时,则有:

d′lt;d

(16)

即可以从低密度光栅生成高密度光栅。

5 结 语

研究了在球面波照射下光栅和一个透镜构成的光学系统的衍射特点，并给出了光学系统Talbot自成像的条件及光学系统自成像周斯变化的规律，以振幅光栅为例给出了从低密度光栅生成高密度光栅的条件。研究表明，光学系统Talbot自成像的性质不仅与球面波的距离有关，而且与透镜的焦距和位置密切相关。特别需要指出的是光学系统自成像的周期与原光栅的周期是不同的，而单光栅在平行光照射下的自成像的周期与原光栅的周期是相同的。

[1]Talbot W H F.Facts relating to optical science[J].Philos Mag, 1836,9(5):401～407.

[2] Packross B, Eschbach R，Bryngdahl O.Image synthesis using self-imaging[J].Opt Commun, 1986,56(6):394～398.

[3] Chen L R, Smith P W E, Sterke C M.Wavelength-encoding/temporal-spreading optical code division multiple-access system with in-fiber chirped moirégratings[J].Appl Opt, 1999,38(21): 4500～4508.

[4] Keller M G, Shaker J, Antar Y M M.Applications of the Talbot array illuminator in the millimeter-wave band[J].IEEE Transactions on Antenans and Propagation, 2008, 51(1):87～96.

[5] 赵敏福, 陆玉玲.基于相位采样光纤光栅的Talbot效应研究[J].光通信技术，2010,(4)：35～38.

[6]侯昌伦, 白剑, 侯西云, 等.基于Ronchi光栅Talbot效应的角度精确测量[J]. 光学仪器，2004,26(1)：11～15.

[7] Jebali M A, Hamam H.Talbot Effect Based Image Compression[J].European Journal of Scientific Research, 2009, 36(3):326～335.

[8] Denisov G G, Kuzikov S V, Plotkin M E.Study of Talbot Effects in a Bent Waveguide with Constant Curvature[J].Journal of infrared millimeter and terahertz waves, 2009, 30(4):349～356.

[9] 陈慧平.一个有趣的关于泰保效应的实验[J].量子电子学报，2003,20(2)：237～240.

[10]吕乃光.傅里叶光学[M].北京：机械工业出版社，2007.87～90.

[11]宋丰华.现在空间光电信息处理技术及应用[M].北京：国防工业出版社，2004.62～63.

[编辑] 洪云飞

2010-06-28

上海市教委科技创新资助项目(08LZ143)。

王淮生(1966-)，男, 1984年大学毕业，博士，教授，现主要从事光学信息处理和大学物理方面的教学与研究工作。

O438

A

1673-1409(2010)03-N023-03