量子外代数的2-Galois覆盖的Hochschild上同调环

汪俊

(湖北大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430062)

0 引言

设Λ是域k上的有限维结合代数(含单位元1).它的包络代数定义为Λe=Λop⊗kΛ,其中Λop是Λ的反代数.则Λ是右Λe-模，通篇路的合成采用从左到右的顺序.Λ第n阶Hochschild上同调群定义为[1]

Hochschild上同调是结合代数较精细的不变量，如Marita等价不变量，Tilting等阶不变量，及导出等价不变量等等.且它在Artin代数的表示理论中扮演着重要的角色，例如，它和代数的单连通性，可分性质及形变理论密切相关[2-7].

Koszul代数在表示理论的研究中扮演着重要的角色.量子外代数Aq=k〈x,y〉/(x2,xy+qyx,y2)是一类有趣的Koszul代数[14-15].设Λq为Aq的2-Galois覆盖，韩阳在文献[16]中证明Λq也是Koszul代数.本文中首先计算出了Λq的各阶Hochschild上同调群的k-基;其次，由于Buchweitz等人用Yoneda积描述的Λq的上同调环的乘法结构较抽象，本文中用平行路的语言刻画了上同调环的乘法结构，且在此基础上，找出了HH*(Λ)的生成元及关系.

1 Hochschild上同调群的k-基

这一节，我们将给出覆盖代数Λq的各阶Hochschild上同调群的k-基.对于kQ中的任意非零元素x，如果在Q0中存在点u和v，使得x=uxv,则称x为一致(uniform)的.设X，Y是kQ中的一致元素组成的集合，记X∥Y={(x,y)∈X×Y|o(x)=o(y)且t(x)=t(y)},则(x,y)∈X∥Y称为平行路，并记k(X∥Y)是以X∥Y为基的k-向量空间.

(1)

下面我们可以给出Λ在Λe上的一个极小投射双模分解

将函子HomΛe(-,Λ)作用于极小投射双模分解( P·,δ·),则有下面引理.

欲找出Λ的各阶上同调群的k-基，由公式HHm(Λ)=Kerσm+1/Imσm知，我们需找出子空间Kerσm+1和Imσm的k-基.

显然，对任意的(b,f)∈B∥Γ(m),易知l(b)和m具有相同的奇偶性，因此dimkMm=4(m+1).

对m=0,1,2,直接计算可得

欲找出Λ高阶的Hochschild上同调群的k-基，我们需要对q进行分类讨论，即

当q≠0不是单位根时，有下列引理.

引理1.2 如果q≠0不是单位根，则HHm(Λ)=0(m>2).

当q≠0是单位根时，将分下面3种情况进行讨论:(1)q≠0是一个r次本原单位根且r为奇数(r>2);(2)q≠0是一个r次本原单位根且r为偶数(r>2);(3)q=±1.

引理1.3 如果q≠0是一个r次本原单位根(r>2)且r为奇数，则对于m>2,

引理1.3的证明由已有文献知

又因为dimkKerσm+1+dimkImσm+1=dimkMm=4(m+1),所以

类似地，我们有下列引理.

引理1.4 如果q≠0是一个r次本原单位根(r>2)且r为偶数，则对于m>2,

引理1.5 如果q=±1,则对于m>2,

2 乘法结构

引理2.1的证明对r作归纳法.

(1)当r=0时，结论显然成立.当r=1时

所以r=1时，结论成立.

(2)假设该式对于≤r-1时均成立，下证对于r也成立.

由假设，有

(*)

(a)0≤i≤r-1时.

(*)式变为

(b)r-1

(*)式变为

(c)m-r+1≤i≤m时.

(*)式变为

下面定义平行路的乘法.

我们将向量空间HomΛe(Pm,Λ)到k(B∥Γ(m))的同构映射及其逆映射分别记为φ与ψ[18],Yoneda积记为*，则有下列定理.

因为Λ是Koszul代数，对于任意的η∈HomΛe(Pn,Λ),θ∈HomΛe(Pm,Λ),它们的Yoneda积η*θ可由下面的映射合成

另一方面

3 上同调环的结构

这一节我们将给出覆盖代数Λq的Hochschild上同调环的结构.如果R→k,S→k是两个环同态，记R与S的纤维积为R×kS.

下面我们通过对q分类讨论给出Λq的Hochschild上同调环HH*(Λq)的结构.将HH*(Λq)，HHn(Λq)分别简记为HH*，HHn.

定理3.1 设Λq是二元量子外代数Λq的2-Galois覆盖.如果q≠0不是单位根，则HH*作为环同构于纤维积k[z0,z1]/,z0z1,×kΛ*(u0,u1),其中Λ*(u0,u1)是由u0,u1生成的二元外代数.

引理3.2 如果q≠0是一个r次本原单位根(r>2),且r为奇数，则HH2s r=HH2(s-1)r∨HH2r,HH2s r+1=HH2(s-1)r+1∨HH2r,HH2s r+2=HH2(s-1)r+2∨HH2r,s≥1.

下面通过对s作归纳法进行证明.

s=1时，由定义2.2给出的乘法有如下乘法表.

根据引理1.3有，HH2r=HH0∨HH2r,HH2r+1=HH1∨HH2r,HH2r+2=HH2∨HH2r.故结论成立.

假设对于

再根据引理1.3有，HH2s r=HH2(s-1)r∨HH2r,HH2s r+1=HH2(s-1)r+1∨HH2r,HH2s r+2=HH2(s-1)r+2∨HH2r.证毕.

同理有如下两个引理.

引理3.3 如果q≠0是一个r次本原单位根(r>2)且r为偶数,则HHs r=HH(s-1)r∨HHr,HHs r+1=HH(s-1)r+1∨HHr,HHs r+2=HH(s-1)r+2∨HHr,s≥1.

引理3.4 如果q=±1,则HH2k+1=HH2k-1∨HH2,HH2k+2=HH2k∨HH2,k≥1.

定理3.5 设Λq是二元量子外代数Aq的2-Galois覆盖，如果q≠0是一个r次本原单位根(r>2),且r为奇数，则HH*作为环同构于纤维积k[z0,z1]/,z0z1,×k(Λ*(u0,u1)[w0,w1,w2]/,其中wi=(e0,,,i=0,1,2,Λ*(u0,u1)是由u0,u1生成的二元外代数.

根据引理3.3和定义2.2，类似地我们有下面的定理.

定理3.6 设Λq是二元量子外代数Aq的2-Galois覆盖，如果q≠0是一个r次本原单位根(r>2)且r为偶数，则HH*作为环同构于纤维积k[z0,z1]/,z0z1,×k(Λ*(u0,u1)[w0,w1,w2]/,其中wi=(e0,,i=0,1,2,l≡r(mod4),Λ*(u0,u1)是由u0,u1生成的二元外代数.

根据引理3.4和定义2.2，即有下列定理.

定理3.7 设Λq是二元量子外代数Aq的2-Galois覆盖，如果q=±1,则HH*作为环同构于纤维积,w1,w2]/Iq,其中u2=(y0,,,u3=(x0,,,wi=(e0,,,i=0,1,2,Λ*(u0,u1,u2,u3)是由uk,k=0,1,2,3生成的外代数，理想Iq由集合Rq={z0wi-qz1wi,u0u2+z0w0,u1u2+z0w0,u2u3-2qz0w1,u0u1-qz0w1,u0u3-qz0w2,u1u3+qz0w2,u2w1+q(u1w0-u0w0),u2w2+u1w1-u0w1,u3w0-q(u0w1+u1w1),u3w1-u0w2-u1w2,生成，i=0,1,2.

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