马氏环境中马氏链函数的极限定理

陈芬，万成高

(1.江西大宇职业技术学院 机电系，江西 南昌 330004；2.湖北大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430062)

20世纪80年代，R Cogburn等人开始研究随机环境中马氏链一般理论，取得了一系列深刻的结果[1-3].S Orey[4]在R Cogburn等人的研究基础上对随机环境中马氏链进行了深入的研究，并提出了一系列的问题，引起了众多概率论学者的广泛关注，使得随机环境中马氏链一般理论的研究成为国际上又一新的研究方向.国内学者对这一领域进行了深入的研究[5-7].大家知道，极限定理一直是经典马氏链理论研究中的热门课题，取得的结果已十分深入.本文研究了马氏环境中马氏链函数的极限定理，给出了马氏环境中马氏链函数强大数定律成立的一系列充分条件.

如果对任意A∈A,n≥0有

(1)

(2)

(3)

其中1≤p≤2,则对任意k≥1，有

(4)

及

(5)

这里我们约定：对任意的k≥1,X-k≡0，ξ-k≡0.

(6)

(7)

下面再考虑k>1的情形.由(Xn,ξn)∶n≥0的马氏性易知，对任意的n=1,2,3,…,k-1,(Xmk+n,ξmk+n)∶m≥0是马氏链，由(3)式显然有

因此对任意的n=1,2,3,…,k-1,有

说明 推论1和推论2的证明类似于文献[8]，故略.

定理2 在定理1的条件下，若存在C>0，对任意的n≥0,都有n/an≤C,且

(8)

则

(9)

定理2的证明由于定理1的条件满足，从而(5)式成立.又由于

因此欲证(9)式成立，只需证

(10)

由于(Xn,ξn)∶n≥0是一步转移概率为Q(x,θ;A×B)=K(θ,B)P(ξ;x,A)的马氏链，故有

上述第一个等式是由于m

E(fm(Xm)|Xm-k,ξm-k)=E(fm(Xm)) a.s.,

从而由(8)式知(10)式成立，继而(9)式成立.

注意 在推论1或推论2的条件下，若(8)式成立，则(9)式仍成立.

参考文献：

[1] Clgburn R.The ergodic theory of Markov chains in random environments[J].Z Wahrsch Verw Gebiete,1993,66(2):109-128.

[2] Cogburn R.Markov chains in random environments: the case of Markovian environment[J].Ann Prob,1980,8(3):908-916.

[3] Cogburn R.On the central limit theorem for Markov chains in random environments[J].Ann Prob,1991,19(2):587-604.

[4] Orey S.Markov chains with stochastically stationary trajsition probabilities[J].Ann Prob,1999,19(4):907-928.

[5] 王汉兴，戴永隆.马氏环境中马氏链的Poisson极限律[J].数学学报，1997，40(2)：265-270.

[6] 郭明乐.随机环境中马氏链的强大数定律[J].应用概率统计，2004，12(2)：154-160.

[7] 李应求.关于马氏环境中马氏链的几点注记[J].数学进展，1999，28(4)：358-360.

[8] 万成高.鞅的极限理论[M].北京：科学出版社，2002.