特征为0域上线性群的有限子群的界定

徐行忠

(湖北大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430062)

研究代数与几何之间的关系是现代数学中的基本问题之一，代数的一个重要课题是确定各种空间(代数结构)在适当的变换群(算子)的作用下的某些不变量，而一般线性群是变换群的一个重要的群类.研究一般线性群有其特殊的意义.

在文献[1]中，表示论的基本运用而得到了一些关于一般线性群中有关有限子群阶的性质，本文对这些结论(见引理1，定理2)做出了一些推广.

1 预备知识

在本文中，我们反复要运用到一些概念和相关定理.为保证文章的完整性，我们有必要将其进行重述.具体的可以参考文献[1].

不可约(可约)性在表示理论中是常见的，我们先给出线性群的不可约(可约)性的定义.

定义1[1]若群G为线性群GL(n,F)的子群，则嵌入映射G→GL(n,F)是一个群G在域F上的矩阵表示.如果该表示为不可约(可约)表示，则称该群G不可约(可约)线性群.

引理1(Burnside) 若F是特征为0的域，则线性群GL(n,F)中方次数有限的子群均为有限群.

定理2(Schur) 一般线性群GL(n，Q)的扭子群均为有限群.

可参考文献[1]中这两个命题的详细证明.下面我们就将这两个结论推广到Q的一般有限扩域F上.

2 主要定理及其证明

定理2叙述了线性群GL(n,Q)的扭子群均为有限群，进一步地有下面定理.

定理3 GL(n,Q)的有限子群的上界是n-约束的.

为证明该定理，我们先证明如下引理.

引理4 若F是特征为0的域，在线性群GL(n,F)中子群的方次数为e,则该子群的阶不超过en3.

引理4的证明不妨令F为代数封闭域.

(1)若G为不可约子群时，G的方次数为e，任取g∈G,则ge=1.故g的特征根为域F中的e次单位根.因为域F至多包含e个这样的特征根，所以trace(g)至多有en个不同的取值.由文献[1]可知，G为有限群且|G|≤(en)n2=en3.

(2)若G为可约子群时，取V为G到GL(n,F)的嵌入映射G→GL(n，F)所诱导的表示对应的向量空间.由G的可约性，取FG-模V的子模U，其中dimV=n,令k=dimU

(3)取L=L1∩L2,则|G/L|≤ek3·e(n-k)3≤en3.而L平凡作用于U和V/U上，即L为无扭群.因此|L|=1.故有|G|≤en3.

定理3的证明由定理2的证明(参考文献[1])，线性群GL(n,Q)中的有限群的方次数仅由n决定.可以设GL(n,F)中的有限子群H的方次数为e.由引理4，|H|≤en3.因此GL(n,F)中的有限子群的阶是n-约束的.

将定理2的基域Q推广为Q的有限扩域F，我们得到下面的定理.

定理2′ 线性群GL(n,F)的扭子群均为有限群.其中F为Q的扩域，且[F∶Q]=k有限.

引理5 设Γx={[kt1,…,ktl]|t1+…+tl=x,ti,l∈Z+，kti∈{a|φ|(a)≤ti·k，a∈Z+}},令f(x)=maxΓx.则对于任意的x,y∈Z+,n∈Γx,m∈Γy，有[n,m]∈Γx+y,且[m,n]≤f(x+y).

定理2′的证明令G为GL(n,F)的任意一个扭子群.为证明该扭子群G为有限群，由引理1知，只需要证明群G的方次数有限.

任意取g∈G，令H=〈g〉，且gm=1.我们将证明整数m∈Γn，则m≤f(n).

对n进行归纳，我们先假设H是不可约的.由于H≤GL(n,F)，故嵌入映射H→GL(n,F)可以作为群H在域F上的一个矩阵表示，不妨令V是这个表示所对应的n维向量空间.即V可以看作FH-不可约模.

由Schur引理，EndH(V)为域F上的可除代数.设EndH(V)的中心域为E.即有F⊆E,显然g∈E.以下均在域E中进行讨论，令Φm为有理数域Q上的次分圆多项式，所以degΦm=φ(m),而且Φm(g)=0.令g在域F上的极小多项式为f(x)，设l=degf(x).由于

[F(g)∶Q]=[F(g)∶F][F∶Q]=[F(g)∶Q(g)][Q(g)∶Q]

即有

l·k≥[Q(g)∶Q]=degΦm=φ(m).

(1)

若取0≠u∈V,则u,ug,…,ugl-1在基域F中为线性独立的.不然则有g的极小多项式的次数小于l=degf.因此l≤dimV.由(1)式可知：

φ(m)≤degf·k=l·k≤dimV·k=n·k.

因此H不可约时，m≤max{kt1|t1=n,t1∈Z+,kt1∈{m|φ(m)≤t1·k}}≤f(n)成立.

当H可约时，即FH-模V有非0的真FH-子模U，其中记dimU=s.因此g共轭于下面的矩阵：

其中g1∈GL(s,F),g2∈GL(n-s,F).

由归纳假设可知，|g1|∈Γs,|g2|∈Γn-s.

而|g|≤[|g1|,|g2|]∈Γn,所以|g|≤f(n).

综上所述，群G的方次数≤f(n)，由引理1知，群G为有限群.

定理3′ GL(n,F)的有限子群的上界是(n,k)-约束的.其中F为Q的扩域，且[F∶Q]=k有限.

定理3′的证明仿照定理3.由定理2′，线性群GL(n,F)中的有限子群的方次数仅由n决定.可以设GL(n,F)中的有限子群H的方次数为e.由引理4，|H|≤en3.因此GL(n,F)中的有限子群的阶是(n,k)-约束的.

参考文献：

[1] Dere J S Robinson.A course in the theory of groups[M].New York:Spring-Verlag,1982.

[2] 张远达.有限群构造(上,下册)[M].北京:科学出版社,1982.