数学问题变式教学的案例探索

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(绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)

数学问题变式教学的案例探索

●虞金龙

(绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)

“问题是数学的心脏”.在数学教学过程中，运用不同的知识与方法变换问题的形式，从一题多解、一题多变、多题一解、一题多图、多图一解……帮助学生提出问题、分析问题、解决问题，让学生在解题过程中发展智力，提高解题能力.这样做既可以使学生学得生动活泼，又可以减轻学生的负担，培养学生的创新意识，这也正是素质教育所要求的.变式的实质是根据学生的心理特点在设计问题的过程中，创设认知和技能的最近发展区，诱发学生通过探索、求异的思维活动发展能力.笔者以向量的高三复习实践为例谈对问题变式的思考，旨在抛砖引玉.

1 寓趣于教,构造数字趣题

兴趣是带有情感色彩的认识倾向，它总是和成功的喜悦紧密相连的.构造一些具有启发性的数字趣题，对培养学生兴趣，开拓解题思路具有不可低估的作用.

有些问题是一般结论，乍看较难证明、但只要掌握题目结构，在教学时有意识地构造数字趣题，不仅会激发学生的学习热情，还会达到事半功倍的效果.例如在复习向量综合应用问题时，笔者编了以下题目.

分析依题意知{an}成等差数列，且d=3.{bn}成等比数列，得

…

因为

an+1-an=d=3，

所以

于是

( )

A．2 010B．2 011C．2 012D．2 013

分析由条件可得

a1 008+a1 004=2，

即

a1+a2 011=2，

从而S2 011=2 011.故选B.

为巩固定理,又进行了以下变式：

(x,y)=(2α-β,α+4β),

即

解得

x+y-3=0,

即所求的轨迹方程为直线x+y-3=0.

分析2由条件可知点A，B，C共线，即点C的轨迹为直线AB，易求AB的方程为x+y-3=0.

( )

A．点M在线段AB上

B．点B在线段AM上

C．点A在线段BM上

D．点O,A,M,B共线

由λ∈(0,1)，得点M在线段AB上.故选A.

若将例4中的条件λ∈(0,1)改为λ∈(1,2),则答案为B.

2 一题多变,提高解题能力

数学问题的一题多变能提高学生综合分析和解决问题的能力，更能激发学生学习数学的兴趣，增强求知欲.下面是笔者在复习向量时设计的一个例题，通过启发和指导，学生积极参与、共同讨论，融向量的知识于一题多变之中，取得了较好的复习效果.

( )

在△ABC中，易知AC=1，∠B=30°，得

2t2-3t+1≥0，

解得

故选B.

此题体现了向量的模常通过平方的方法解决.为了巩固这个知识点，笔者又将题变化如下：

( )

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

分析原不等式2边平方后可化为

由k∈R得

得

从而AC为高，即∠C=90°.故选B.

3 巧编题组,培养发散思维

笔者在高三教学过程中，特别重视把有密切联系的问题编排成题组加以训练.学生在练习过程中学会了比较的方法，提高了分析、解决问题的能力.譬如在学习向量加减法的平行四边形法则和三角形法则时，编了如下问题：

( )

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

分析因为

所以

由向量加减法的平行四边形法则及菱形的几何性质,知AB,AC为菱形的2条邻边,因而△ABC为等腰三角形.

为了巩固这个知识点，又编了如下题目：

分析过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥AB于点E,则

以上2道题目还体现了向量的模与平方的关系，也是解决这类问题的一个小窍门.

在数学教学中，有时可通过构造变式借题、变题,使学生耳目一新.譬如为了提高学生的编题能力，又编了以下题目：

( ).

A．40 B．200 C．10 D．0

分析由题意得

此题的解法明显体现了与前一题的一个重要共性，教师在教学时可趁热打铁.

此题解法同例9完全一致，体现了编题组的优势.

同一个问题，从不同角度,用不同的知识，展示不同的“变式”.根据解题思路编排“题组”进行比较，培养学生的发散性思维.这样学生就把知识联系起来，形成整体性的认识和提高，从而达到了举一反三、触类旁通的教学效果.同时,提高了学生思维的综合能力和创造能力.但是学生在做题时，往往不重视题目中关键性的字、词、句、单位及题目后面的要求而做错了.为此，笔者还经常有意地出一些“貌似实异”的题组培养学生的审题习惯，从而提高学生思维的准确性.