探析几何内涵 优化解题方案

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(泗阳中学高中部 江苏泗阳 223700)

探析几何内涵优化解题方案

●刘建中

(泗阳中学高中部 江苏泗阳 223700)

很多学生在解答平面解析几何题时，由于缺乏对其几何内涵的深刻认识和有效把握，而致使解题思路狭窄，运算过程繁琐，结果常常是“会而不对”或“对而不全”.如何准确地探寻问题的几何背景与内涵，使解题过程得以优化呢？笔者根据平时的教学实践结合相关问题谈谈个人的看法，供读者参考.

1 通过几何平台的搭建寻求解法

例1如图1,F1，F2分别是双曲线x2-y2=4的左、右焦点，P为其图像右支上的一点，直线l平分∠F1PF2,过点F1作直线l的垂线，垂足为M，试求点M的轨迹方程.

分析设点M的坐标为(x,y),延长PF2，F1M交于点Q.由条件易知△PF1Q为等腰三角形，M为边F1Q的中点.又由O为F1F2的中点，得线段OM为△F1QF2的中位线，因此

所以点M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，其方程是x2+y2=4.

评注先根据l平分∠F1PF2且l⊥F1M这一条件构建等腰△PF1Q，再利用三角形中位线定理和双曲线的定义，得出动点M所满足的几何关系，从而使所求的轨迹问题顺利获解.

图1

图2

2 通过几何语言的转化优化运算

例2如图2，△ABC的3个顶点坐标分别是A(-6，0)，B(2，0)，C(0，6)，点D，E是高CO的2个三等分点，过点D作直线FG∥AC,分别交AB和BC于点G，F，连结EF.

(1)求过点E，G，F的圆M的方程；

(2)在线段AC上是否存在点H，使得过点H存在与圆M相切的直线？且当过点H有2条圆的切线HP，HQ(P，Q为切点)时，求满足∠PHQ≥90°的点H所对应轨迹的长度.

分析(1)根据条件，易得E(0，4),G(-2，0),F(1,3)，则

从而

EF2+FG2=EG2,

因此△EGF为直角三角形，所求圆M是以线段EG为直径的圆,其方程为

(x-0)(x+2)+(y-4)(y-0)=0,

即

x2+y2+2x-4y=0.

图3

即

3 通过几何特征的把握巧妙探索

例3已知过点A(-1，0)的动直线l与圆C：x2+(y-3)2=4相交于点P,Q，M是PQ的中点，l与直线m:x+3y+6=0相交于点N.

图4

(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.

(3)探索AM·AN的值是否与直线l的倾斜角的大小有关.若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.

解(1)当直线l与m垂直时，l的方程为y=3(x+1),l与y轴的交点坐标为(0，3)，即l必过圆心C.

x-uy+1=0.

由点到直线距离公式得

解得

故所求直线l的方程为x+1=0或4x-3y+4=0.

(3)若l过点C，由第(1)小题知l⊥m.设垂足为H，则

若l不过点C，连结CM.由题意得CM⊥l(如图4).易证

△AMC∽△AHN，

因此

故

AM·AN=AC·AH=5，

所以AM·AN的值与直线l的倾斜角大小无关，其值为5.

评注把握当直线l过点C时这一特殊情形，利用相似三角形的相关知识，有效地避免了较为繁琐的运算，从而使探索过程轻松、顺利，事半功倍.

4 通过几何结论的运用化难为易

例4如图5,已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：x=2．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值．

图5

(2)设椭圆准线l与x轴的交点为P，FN与OM的交点为H,连结MN.在Rt△OMN中由OM为圆的直径，利用射影定理可得

又OM⊥FN,l⊥x轴，得点M，H，F，P共圆.由圆的割线定理可得

由式(1)，式(2)得

ON2=OF·OP=1×2=2，

kMN·kON=-1，

进而

解析几何和平面几何研究的对象都是几何问题，区别在于研究的手段不同.在研究解析几何问题时，如果注意强化平面几何应用意识，合理地借助平面几何知识，出奇制胜，那么就能顺利地找到解题突破口，使问题得以解决.