论二次分式函数的值域

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(杭州市第九中学 浙江杭州 310020)

论二次分式函数的值域

●龚雷陈伟

(杭州市第九中学 浙江杭州 310020)

对于二次分式函数的值域问题，比较流行的解法是判别式法，但此法并不可靠．这一点已有不少文献指出，但这些文献基本上只是面向中学生的解题易错点作出提醒，未从解法的理论依据进行研究．本文拟对此作个补遗，同时给出二次分式函数值域问题的另一种新的解决思路．

1 判别式法的理论依据

判别式法实质上就是运用函数与方程的思想以及化归思想，把函数值域问题化归为二次方程的根的讨论问题．为了看清判别式法的理论依据，我们把这一化归过程细化为以下问题链：

(3)若关于x的方程

(a2y-a1)x2+(b2y-b1)x+(c2y-c1)=0

(1)

至少有1个实根，求y的取值范围．

问题(1)是原问题，将问题(1)化归为问题(2)的理论依据是函数的概念，这一过程不存在什么问题，这是一个等价转换；从问题(2)转化到问题(3)是一个方程同解变形过程，根据方程同解理论可知，这里去分母有可能产生增根，因此这在理论上讲是一个不等价转换，很多人以为判别式法的问题主要源自于这个不等价转换．但追问一下“何时产生增根”就不难发现，当且仅当分子分母可约时有增根．而此时这个函数可以化简为一次分式函数甚至常函数．因此对于分子分母不可约的一般情况而言，这个不等价转换并不会影响结论．

2 判别式法的局限性

从以上讨论可以看出，只要在问题(3)中不忘讨论方程(1)的二次项系数是否为0，用判别式法求二次分式函数的值域并不存在太大的问题．

事实上，判别式法的局限性主要在还于当函数定义域不是自然定义域时，问题(2)、(3)中的“至少有1个实根”相应改成“在规定的定义域内至少有1个实根”，此时问题化归为二次方程根的分布问题，要分“2个根均在定义域内(包括重根)”和“1个根在定义域内1个根在定义域外”这2种情况讨论，再加上二次项系数是否为0的讨论，共需讨论3种情况.如例1所示：

解原问题等价于：关于x的方程

在区间[0，1]上至少有1个实根，求y的取值范围.

(1)当y=1时，x=-2∉[0，1]；

(2)当y≠1时，Δ=-3y2-4y+8.记

f(x)=(y-1)x2+(y-2)x+(y+1)，

得

①如果方程(2)有2个实根(包括重根)在区间[0,1]内，那么

即

②如果方程(2)有1个实根在区间[0，1]内，另1个实根在区间[0，1]外，那么

f(0)f(1)≤0,

即

根据笔者的经验，能熟练掌握这种讨论并且运算不出错的学生很少．这样，一个原本不是很难的问题被化归为大部分高中学生不易解决的难题,因此这个解题思路方向并不能令人满意．

3 另一种解题思路

例1另解由0≤x≤1知

x-2<0，

从而

(3)

1≤|x-2|≤2，

从而

此即为所求的函数值域．

在这一解法中，式(3)的代数变形能力要求稍高，如果遵循以下的问题化归思路，那么就会有章可循，十分自然了.

4 求二次分式函数值域的化归思路

(1)当a2=c2=0，b2≠0时，

当且仅当x=1时,等号成立,且当x无限接近于0时，y无限增大，故y∈(1,+∞)．

这是二次分式函数值域问题的最简单、基本的情形.以下讨论显示，除一些平凡的或者退化的情形外，其他情形均可化归为此类情形.

解(1)当x=0时，y=0；

(2)当x∈[-2,0)∪(0,2]时，由

得

从而

(3)当a2=0，b2≠0，c2≠0时，作变量代换u=b2x+c2，问题化归为情形(1)．

解令x+4=t，则t∈[4,6]，于是

(4)当a1=0，b1≠0，c1≠0时，作变量代换u=b1x+c1，问题化归为情形(2)．

解令x-3=t，则t∈[-3,-1]，于是

从而

(5)当a1a2≠0时，作以下变形：

则问题可化归为情形(4)．例1就是这类情形的一个实例．

以上忽略了一些平凡和退化情形的讨论，最后对此作一个交代：

(6)当分子分母可约，或a1,a2同时为0时，函数可化为(或退化为)一次分式函数或常函数，一次分式函数均可利用图像平移化归为反比例函数.

(7)当a2=b2=0时，函数退化为二次函数，当a1=b1=0时，函数是二次函数与反比例函数的复合.

限于篇幅，对以上几种平凡和退化的情形不再举例说明．