简析以二次函数为背景的动态几何问题

●(张家港外国语学校 江苏张家港 215600)

动态几何问题以其丰富的特性频频亮相于中考试题，尤其是与二次函数的结合，更加增添了动态几何的“个性”魅力.现采撷2009年中考试题几例作一简析，供学习参考.

1 单动点与二次函数

例1已知Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合(其中OA

图1

图2

(1)求线段OA，OB的长和经过点A，B，C的抛物线的关系式.

(2)如图2，点D的坐标为(2，0)，点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连结DP交BC于点E.

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标.

②连结CD，CP(如图3)，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由.

(2009年深圳市数学中考试题)

解(1)设OA的长为x，则OB=5-x.由题意得OC=2，AB=5，∠AOC=∠BOC=90°，∠OAC=∠OCB，因此

△AOC∽△COB，

于是

CO2=OA·OB,

即

22=x(5-x),

解得

x1=1,x2=4.

又由OA

OA=1,OB=4，

从而点A，B，C的坐标分别为A(-1,0),B(4,0),C(0,2).可设此二次函数的表达式为

y=a(x+1)(x-4),

将点C的坐标代入,得a=-0.5.故这个二次函数的表达式为

y=-0.5x2+1.5x+2.

图3

图4

②如图4，连结OP,则

S△CDP=S四边形CODP-S△COD=

S△COP+S△ODP-S△COD=

评析通过三点确定了抛物线的解析式；在分析△BDE是等腰三角形时，要抓住等腰三角形的特征，分3种情况进行讨论，即BD=BE,DB=DE,EB=ED；结合等腰三角形的三线合一来解题.由于是求△CDP的最大面积，因此要与二次函数的最值问题联系在一起，故要以△CDP的面积为因变量来建立二次函数.

2 双动点与二次函数

例2如图5所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的3个顶点B(4，0)，C(8，0)，D(8，8).抛物线y=ax2+bx过点A，C.

图5

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式.

(2)动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连结EQ．在点P，Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

(2009年河南省数学中考试题)

解(1)点A的坐标为(4，8)，将A(4,8)，C(8，0)分别代入y=ax2+bx,得

解得

于是抛物线的解析式为

(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中，

即

因此

从而

PB=8-t，

于是

评析由矩形的性质可知点A的坐标，近一步求得二次函数的解析式，为以下各小题打下伏笔；随着点P和点Q的运动，EF与抛物线的交点G始终在点E的上方，故EG的长等于点G的纵坐标与点E的纵坐标之差且它们的横坐标相同，所以可以通过建立二次函数来求最值.针对等腰三角形，根据点P,Q的运动分3种情况讨论即可.

3 动线段与二次函数

例3如图6所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6 cm，CD=4 cm，BC=BD=10 cm，点P由点B出发沿BD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1 cm/s，交BD于点Q，连结PE．设运动时间为t(s)(0

(1)当t为何值时，PE∥AB.

(2)设△PEQ的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式.

(4)连结PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？请说明理由．

(2009年山东省青岛市数学中考试题)

图6

图7

解(1)由PE∥AB,可得

而DE=t，DP=10-t,因此

解得

(2)由EFCD，可得四边形CDEF是平行四边形，因此

∠DEQ=∠C,∠DQE=∠BDC.

又由BC=BD=10，得

∠DEQ=∠C=∠DQE=∠BDC,

因此

△DEQ∽△BCD,

从而

解得

如图7,过点B作BM⊥CD，交CD于点M，过点P作PN⊥EF，交EF于点N，则

因为ED=DQ=BP=t，所以

PQ=10-2t.

又△PNQ∽△BMD,所以

即

解得

从而

(3)

解得

t1=1,t2=4．

(4)在△PDE和△FBP中，由DE=BP=t,PD=BF=10-t,∠PDE=∠FBP,可得

△PDE≌△FBP,

因此S五边形PFCDE=S△PDE+S四边形PFCD=

S△FBP+S四边形PFCD=S△BCD=

故在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

评析由于线段的运动，因此四边形EFCD为平行四边形；利用相似或比例线段可用t的代数式表示三角形的底与高，故可求得函数解析式.针对五边形面积的定值问题，可利用等积变换转换成已求三角形的面积.

4 运动的封闭图形与二次函数

(1)请直接写出点C，D的坐标.

(2)求抛物线的解析式.

(4)在第(3)小题的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

(2009年浙江省台州市数学中考试题)

图8

图9

解(1)C(3，2)，D(1，3).

(2)设抛物线方程为y=ax2+bx+c.由抛物线过点(0,1)，(3,2),(1,3),可得

解得

于是

(3)①当点A运动到点F时，t=1.当0

所以

即

从而

②当点C运动到x轴上时，t=2.当1

因此

图10

图11

因为

所以

即

于是

(4)如图12,因为

图12

所以

S阴影=S矩形BB′C′C=

S矩形AA′D′D=

AD×AA′=

评析随着正方形的整体移动，在x轴下方的部分分别为直角三角形、直角梯形和五边形，因此这个函数关系式应分情况进行讨论.