对一个数学问题的探究

●(漳州市第一中学 福建漳州 363000)

在《数学教学》2008年第12期的数学问题与解答栏目中有这样一个问题：

图1

1 解法探究

《数学教学》2009年第2期上刊出了上述问题的解法，但较为繁琐.笔者对其证法作了探究，给出如下简单证法：

证明设Q(x0,y0)，M(x1,y1),N(x2,y2),则切线MQ,NQ的方程分别为

x1x+y1y=a2,x2x+y2y=a2.

由点Q在切线MQ,NQ上得

x1x0+y1y0=a2;x2x0+y2y0=a2，

因此直线MN的方程为

x0x+y0y=a2,

即

(1)

设P(x′,y′)，则椭圆在点P处的切线MN的方程为

比较式(1)，式(2),得x0=x′，所以PQ⊥x轴.

2 结论拓广

经过上述探究,可得到如下性质.

若将结论作引申拓广，则可得：

证明设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)，则切线MQ,NQ的方程分别为

由点Q在切线MQ,NQ上得

因此直线MN的方程为

设P(x′,y′)，则圆O在点P处的切线MN的方程为

x′x+y′y=b2,

即

(4)

比较式(3),式(4),得y0=y′，所以PQ⊥y轴.

图2

图3

证明设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)，则切线MQ,NQ的方程分别为

x1x+y1y=a2;x2x+y2y=a2.

由点Q在切线MQ,NQ上得

x1x0+y1y0=a2;x2x0+y2y0=a2.

因此直线MN的方程为x0x+y0y=a2,即

(5)

设P(x′,y′)，则双曲线在点P处的切线MN的方程为

比较式(5),式(6),得x0=x′，所以PQ⊥x轴.

证明设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)，则切线MQ,NQ的方程分别为

由点Q在切线MQ,NQ上得

因此直线MN的方程为

设P(x′,y′)，则圆O在点P处的切线MN的方程为

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x′x+y′y=a2,

即

(8)

比较式(7)，式(8),得x0=x′，所以PQ⊥x轴.

图4

图5

证明设Q(x0,y0)，M(x1,y1),N(x2,y2),则切线MQ,NQ的方程分别为

由点Q在切线MQ,NQ上得

因此直线MN的方程为

比较式(9),式(10),得x0=x′，所以PQ⊥x轴.

图6

证明设Q(x0,y0)，M(x1,y1),N(x2,y2),则切线MQ,NQ的方程分别为

由点Q在切线MQ,NQ上得

因此直线MN的方程为

设P(x′,y′)，则双曲线在点P处的切线MN的方程为

比较式(11),式(12),得x0=x′，所以PQ⊥x轴.