板状构件的疲劳裂纹形成及疲劳寿命预估

谭文锋，王银海，张文志

(燕山大学，河北 秦皇岛 066004)

1 概述

板状构件是机械工程中的常见构件。其疲劳裂纹影响寿命，本文应用损伤力学方法对其进行分析。

对于一般工程构件，疲劳失效过程一般分为裂纹形成与裂纹扩展两个阶段。就裂纹形成阶段而言，一般采用两种分析方法。其一是完全的试验方法，直接通过与实际情况相同或相似的试验来获取所需要的疲劳数据，这种方法虽然可靠，但成本高且费时。其二是试验与统计经验相结合的方法。这种方法利用已有的标准试验结果，依照经验性的当量原则或修正办法，对实际情况的疲劳指标进行估算。然而，要对千差万别的实际情况进行完备的修正，必须进行大量的统计试验，这是不现实的。

应力集中程度较低的平面应力状态板状构件的疲劳裂纹影响寿命问题属于大范围损伤问题。对于大范围损伤问题，可以与大范围塑性问题类似，援引经典固体力学中关于位移与应变模态的假设。文献［1］提出并讨论了大范围损伤情况构件疲劳裂纹形成寿命预估的方法，本文将其推广应用于预估平面应力状态下的板状构件的疲劳裂纹形成及疲劳寿命问题。

2 板状构件疲劳裂纹形成及疲劳寿命的封闭解

假设含损伤平面应力板状构件的位移场与具有相同形状、相同载荷、相同约束的无损伤构件的位移场是相似的。以u、v表示含损伤板状构件的位移分量，ue、ve表示对应的无损伤板状构件的位移分量。对大范围损伤情况，援引经典固体力学中关于位移与应变模态相似的假设，即令

其中，ζ为待定系数，代表含损伤构件的广义位移。

将式(1)代入几何方程

可得

式中

为对应的无损伤板状构件的几何方程。

根据计及损伤耦合效应的本构关系［1］，可知

式中，E、v分别为弹性模量和泊松比。

将式(3)代入式(5)，得

式中

为对应的无损伤板状构件的本构方程。

下面应用虚功原理建立含损伤板状构件的平衡方程，给广义位移ζ以虚位移δζ。由式(1)含损伤板状构件的虚位移为

设作用于含损伤板状构件的体力与面力分量分别为Fx，Fy与Tx，Ty，则外力虚功为

式中，A，ST分别为板的面积和静力边界。

将式(8)代入式(9)，可得

式中，P为在δξ上做功的广义外力

内力虚功为

将式(3)变分并代入式(12)，得

将式(6)代入式(13)中，得

式中

根据虚功原理 δWi=δWe，有

ζ[∬AWdA－ ∬ADWdA ] =P (16)

对于无损伤板状构件应用虚功原理，容易证明

式(15)变分后代入式(16)并考虑到式(17)，得

含损伤板状构件内任意点和临界点的损伤演化方程分别为

式中，N为循环次数;D、Dc分别为任意点和临界点的损伤度;α为与循环特征有关的材料常数;m为材料常数，m＞1;而ε、εc分别为任意点和临界点的等效应变［2］

无损伤板状构件的等效应变为

由式(3)，有

由式(19)与式(22)可得

式中，εec为无损伤板状构件临界点的等效应变。积分式(23)，得

本文认为材料无初始损伤，即当N=0时，D=Dc=0。式(24)代入式(18)，得

式中

令

则由式(25)，可得

将式(28)代入式(22)，得

从而

将式(30)代入式(19)第二式，可得临界点的损伤演化方程

积分式(31)，得

本文认为材料无初始损伤，即当N=0时，D=Dc=0。而且当时裂纹开始形成，即Dc的积分上下限分别为0和1。其中，Ncr为裂纹形成时的循环次数，即裂纹形成寿命。

无损伤板状构件的临界点等效应力为

令

则式(32)可表示为

式(35)即为大范围损伤情况下预估平面应力板状构件疲劳裂纹形成及寿命Ncr的封闭解。应用式(35)即可得到预估板状构件疲劳裂纹形成及寿命的计算公式

3 板状构件的疲劳裂纹形成及疲劳寿命预估

表1 LY12CZ铝合金拉压疲劳实验数据

采用图1所示计算模型，其板的长度为200 mm，板的厚度为2.5 mm。材料为 LY12CZ铝合金，轴向加载，循环特征。

图1 计算模型简图

用ANSYS软件以三角形常应变单元分析无损伤线弹性应力场，单元划分如图2所示。得到每个单元的应力、应变和面积后，对数据进行数值积分可计算出I0和Im

式中，N为划分的单元数;εe(i)为单元的等效(i)为单元的应变;A(i)为单元的面积。

由式(38)和式(39)可计算I0和Im值，代入式(27)可计算出ξ值，再由式(34)可得k值

图2 有限元网格划分示意图

用式(36)即可计算出不同应力对应的疲劳裂纹影响的寿命，如表2所示。在构件上施加循环应力，q为分布载荷最大值，σec为临界点的应力。

表2 疲劳裂纹形成及疲劳寿命预估结果

4 结论

对于大范围损伤平面应力板状构件，采用虚功原理，得到了预估其疲劳裂纹影响寿命的封闭解答公式。对于简单构件，可以直接用解析法求得疲劳裂纹影响的寿命。对于复杂构件，其应力场和应变场可用有限元法得到。本文给出了一个较复杂构件疲劳裂纹影响的寿命预估的算例，该方法具有普遍意义。而且计算简单、可靠。

［1］ 张行，赵军．金属构件应用疲劳损伤力学［M］．北京:国防工业出版社，1998．

［2］ 杨伯源，张义同．工程弹塑性力学［M］．北京:机械工业出版社，2003．

［3］ 谭文锋，张文志．疲劳损伤伤演方程中材料常数的确定［J］．实验力学，2007，22(6):644－648．

［4］ 高镇同，蒋薪桐，熊俊江．疲劳性能试验设计和数据处理:直升机金属材料疲劳性能可靠手册［M］．北京:北京航空航天大学出版社，1999．