简谐晶体高温比热的量子修正

吴明在, 孙兆奇, 刘艳美, 马永青, 戴 鹏

(安徽大学光电信息获取与控制教育部重点实验室,安徽合肥 230039)

简谐晶体高温比热的量子修正

吴明在, 孙兆奇, 刘艳美, 马永青, 戴 鹏

(安徽大学光电信息获取与控制教育部重点实验室,安徽合肥 230039)

爱因斯坦假设和德拜假设采用量子论处理了晶格的低温热容问题,而高温部分晶格的热容仍然采用的是传统的隆-帕替定律。本文在对晶格热容的高温温区处理上,考虑到量子效应,对点阵的高温热容加以了量子修正。

晶格;热容;量子修正

固体热容是物质热性质的重要参量之一,人们对固体热容的研究由来已久,经典统计理论曾用能量均分定理讨论过晶体振动的热容,成功地解释了杜隆-帕替定律常温和高温下固体热容的实验规律[1],但它不能说明低温下热容量随温度变化的实验事实。爱因斯坦应用普朗克量子论假定晶体中所有原子都以相同的频率振动,忽略谐振子之间的差异,认为3N个谐振子是全同的。结果得到在低温下,即,T≪ΘE时,定容热容

在低温时,定容热容量按指数衰减。这是由于当温度趋于零时,振子能级间距ħw远大于kBT,振子由于热运动获得能量ħw而跃迁到激发态的概率是极小的,因此平均而言几乎全部振子被冻结在基态。爱因斯坦固体热容理论能够定性地说明固体热容量随温度降低而趋于零的规律,在定量上却与实验符合得不好。实验测得的定容热容量,比爱因斯坦理论值趋于零速度慢。这是由于在爱因斯坦理论中作了过分简化的假设,即:3N个振子都有相同的频率。这忽视了各格波对热容贡献的差异。

德拜将固体看作各向同性连续弹性介质,晶体的3N个简谐振动是弹性介质的基本波动,固体上任意的弹性媒质都可分解为3N个简谐振动的叠加。在此近似处理下,在低温kBT≪ħw下,

德拜定容热容量与T3成正比,称作德拜 T3律。这一结论在低温时与实验相符,并且温度越低符合程度越好。

在低温温区,爱因斯坦和德拜分别将量子论引入晶格热容,能够很好地解释低温热容随温度变化的规律,然而高温热容并没有考虑到量子效应,没有进行量子修正。本文在对晶格热容的处理上,考虑了量子效应,对点阵的高温热容加以量子修正。

固体物理的热容一般是指定容热容,在热力学里,

其中¯E为固体的平均内能。固体热容主要有两部分贡献,一是来源于晶格热振动,称为晶体热容;二是来源于电子的热运动,称为电子热容,除非在很低温度下,电子热运动的贡献往往是很小的,故在我们所讨论的高温区,电子的热容不予考虑。

由热容的定义式(3)有

其中ΔCv即为简谐晶体在高温下热容的量子修正。事实上,在德拜 T3定律适用的温区范围以上和杜隆-帕替定律适用的常温和高温温区以下温度范围内,晶格热容是在减小的,其减小的值就由ΔCv来表达。联系德拜所引入的模式密度,我们还可以把对模式的求和转化为对频率的积分,这样,

则式(9)可重新表达为

当T处于常温或高温时,由(9)式或者(11)式可知,ΔCv→0,过渡到杜隆-帕替定律,即晶格热容Cv==3N kB;

当T足够低时,(9)式或者(11)式不再适用,过渡到德拜定律,热容服从T3定律;

当T处于德拜适用温区和高温区之间时,热容须加以修正,修正项以(11)式表达。

[1] 陆栋,蒋平,徐至中.固体物理学[M].上海:上海科学技术出版社,2003.

[2] 黄昆,韩汝琦.固体物理学[M].北京:高等教育出版社,1988.

The Quantum Correction of High Temperature Heat Capacity for H armonic Crystal

WU Ming-zai, SUN Zhao-qi, LIU Yan-mei, MA Yong-qing, DAI-peng
(Ministry ofEducation’s Key Laboratory of Opto-electronic Information Acquisition and Manipulation,Anhui University,Hefei230039,China)

The heat capacity of lattice for low temperature zone was developed by Einstein and Debye by using quantum method,while the heat capacity for high temperature zone still adopts the conventional Dulong-petit law.In this paper,we develop the quantum correction for the heat capacity of lattice for high temperature zone.

lattice;heat capacity;quantum correction

O414.2

A

1674-2273(2010)06-0023-02

2010-03-24

安徽省自然科学基金(070414202),安徽省教育厅自然科学基金(2006KJ269B)

吴明在(1979-),男,安徽颍上人,安徽大学物理学院副教授,主要从事固体物理教学工作。