关于一类不定方程正整数解的问题

李尚龙

(渭南职业技术学院数理科学系,陕西渭南 714000)

关于一类不定方程正整数解的问题

李尚龙

(渭南职业技术学院数理科学系,陕西渭南 714000)

利用初等数论知识推导并证明了不定方程的正整数解的一般公式,并且推导出了不定方程的全部正整数解,并对不定方程是否有正整数解做了讨论,解决了这一类不定方程的正整数解的问题.

不定方程; 正整数解; 初等数论

1 引言及预备

不定方程是变量个数多于方程个数,且取整数值的方程.不定方程又称为丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是最活跃的数学领域之一.1980年,著名的数学家柯召和孙琦在我国出版了第一部专门研究不定方程的专著《谈谈不定方程》.在这部专著的基础上,曹珍富于1987年完成了全面总结与系统研究不定方程的成果和方法的手稿《丢番图方程引论》.最近十余年,不定方程不仅自身的发展异常活跃,而且全面应用于数学的其他各个领域 (见文献 [1]-[5]).本文在已有研究的基础上,给出了不定方程的正整数解的一般表达式,得到了不定方程的全部正整数解,证明了不定方程(n≥3,n∈N＊)无正整数解.

为了完成定理的证明,需要用到以下几个引理.

引理1[2]不定方程 ab=w2(w＞0,a＞0,b＞0,(a,b)=1)的一切正整数解可表示成:a=m2,b= n2,w=mn,m ＞0,n＞0,m,n∈N,(m,n)=1.

引理2[2]不定方程x2+y2=z2的适合条件x＞0,y＞0,z＞0,(x,y)=1,2|x的一切正整数解可由下面的公式来表示:x=2mn,y=m2-n2,z=m2+n2,m＞ n,m,n∈N＊,(m,n)=1,2†(m+n).

引理3[3](费马大定理)当 n是一个大于2的整数时,不定方程 xn+yn=zn没有正整数解.

2 主要结论及证明

反之,可直接验证由 a=mnt+m2t,b=mnt+n2t,c=mnt.(m,n)=1,m,n,t∈N＊所给出的任一组数a,b,c都适合方程因此方程的所有正整数解可由a=mnt+m2t,b=mnt+n2t, c=mnt.(m,n)=1,m,n,t∈N＊来表示.

证明 (1)在证明定理2之前先给出以下两个说明:

(ⅰ)由于(±a)2= a2,(±b)2=b2,(±c)2=c2.(a,b,c＞0)故可只研究方程的正整数解.

(ⅱ)由于(a2,b2,c2)=(a,b,c)2,若(a,b,c)= d＞1得a= a1d,d=b1d,c=故可先设

(ⅰ)先证 a≠1且 b≠1.若不然,则左边 ＞1,右边 ≤1.显然左边 ≠右边.

(ⅲ)设(a,b)=d＞1.a=a1d,b=b1d,(a1,b1)=1.由(ⅱ)的证明容易得到1.则由所以又因为所以根据引理2得:所以

其中m,n∈N＊,m＞n,(m,n)=1,2†(m+n)(即 m,n一奇一偶)t∈N＊.

反之,可直接验证由 a=2mn(m2+n2)t,b=(m2-n2)(m2+n2)t,所给出的任一数组 a,b,c都适合方程因此方程的所有正整数解可表示为:(即m,n一奇一偶),t∈N＊.证毕.

[1]刘荣武.不定方程的一种简便解法 [J].洛阳师专学报,1999,(5):28-31.

[2]柯召,孙琦.数论讲义 (第2版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]张文鹏.初等数论 [M].西安:陕西师范大学出版社,2007.

[4]马文波.几类特殊的不定方程问题初探 [D].武汉:武汉理工大学,2006.

[5]彭叶辉,补爱军.解不适应算子方程的多不正则化梯度法 [J].怀化学院学报,2008,(3):15-17.

Abstract:This paper used the knowledge of elementary number theory to deduce and prove the general formulas of positive integral solution to the indeterminate equationThis paper also has deduced and afforded us to obtain all positive integral solution to the indeterminate equationand has made a discussion if it has positive integral solution to indeterminate equationThus it has solved the problem to positive integral solution of the kind indeterminate equation.

Key words:indeterminate equation; positive integral solution; elementary number theory

On the Problem of an Positive Integral Solution of One Kind Indeterminate Equation

LI Shang-long

(Department of Mathematics and Physical Science,Weinan Vocational and Technical College,Weinan,Shanxi 714000)

O156.2

A

1671-9743(2010)05-0031-03

2010-05-17

陕西省教育厅基金项目 (09JK432).

李尚龙 (1964-),男,陕西合阳人,渭南职业技术学院副教授,主要研究代数理论.