利用极坐标计算一个三重积分

隋 英，孙常春

（沈阳建筑大学 理学院，辽宁 沈阳 110168）

利用极坐标计算一个三重积分

隋 英，孙常春

（沈阳建筑大学 理学院，辽宁 沈阳 110168）

“先一后二法”和“先二后一法”是三重积分化成三次定积分进行计算的基础，本文在极坐标下通过一个三重积分的计算对这两种方法进行了诠释.

三重积分；先一后二法；先二后一法

三重积分计算的思想是化三重积分为三次定积分，即：将三重积分先化成一次定积分与一次二重积分，从而再进一步将三重积分化成三次定积分.三重积分化成一次定积分与一次二重积分的计算分两种情况：先计算一个定积分，然后再计算一个二重积分，叫“先一后二法”，也叫“投影法”；先计算一个二重积分，再计算一个定积分，叫“先二后一法”，也叫“截面法”.本文介绍了这两种方法的具体解法，并通过一个三重积分的计算诠释了这两种方法的使用.

1 “先一后二法”

具体的解法是：

1.1 投影：已知闭区域Ω的下曲面为S1：z=z1(x,y)，上曲面为S2：z=z2(x,y)，其中z1(x,y)，z2(x,y)都是Dxy上的连续函数.把闭区域Ω投影到x o y面上，得到一个平面闭区域Dxy.

1.2 定限：过Dxy上的任意一点(x,y)做平行于z轴的直线，这条直线通过曲面S1穿入Ω内，穿入点的竖坐标为z1(x,y)；然后通过曲面S2穿出Ω外，穿出点的竖坐标为z2(x,y).在这种情况下，积分区域Ω可表示为：

然后计算F(x,y)在闭区域Dxy上的二重积分

闭区域Dxy上的二重积分可利用直角坐标计算也可利用极坐标计算，从而将三重积分转化成三次定积分进行计算.

也可以把Ω投影到y o z面上或x o z面上，这样就可以把三重积分转化成按其他顺序的三次积分.

2 “先二后一法”

具体的做法是：

2.1 定限：把闭区域Ω投影到z轴上，得到闭区域Ω位于区间[c1,c2]上.在(c1,c2)上任取一点z作垂直于z轴的截面，截得的区域记作Dz.于是得到：

2.2 计算：将三重积分转化成先计算一个二重积分、再计算一个定积分的计算，即

即：“先二后一法”适用于被积函数为z的函数，截面Dz的面积可简单地表示成z的函数的情况，或者具有特殊的积分域的情形.因此，该方法在使用上具有一定的局限性.

3 两种方法的应用

方法一 “先一后二法”

把Ω1投影到x o y面上，得到一个平面闭区域：D x y={(x,y)|x2+y2≤4}.

方法二 “先二后一法”

本题使用了两种方法进行计算：“先一后二法”中二重积分的计算利用极坐标，这个做法的实质是就是柱面坐标求三重积分公式的推导过程.“先二后一法”中二重积分的计算也同样采用了极坐标，很明显，采用该方法更为简单.本题在极坐标下，对“先一后二法”和“先二后一法”作了进一步的探讨.同时应注意使用时应根据实际情形来选择累次积分的合适顺序，从而选择更合理、便捷的解题方法.

〔1〕同济大学数学系.高等数学第六版[M]，北京：高等教育出版社,2007.

〔2〕朱宝彦,刘玉柱.高等数学学习指导[M]，北京：北京大学出版社，2008.

〔3〕车向凯，等.高等数学习题课教程[M]，沈阳：东北大学出版社，1997.

O172.2

A

1673-260X（2010）08-0005-02