线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用

林大华，戴立辉

（闽江学院 数学系，福建 福州 350108）

线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用

林大华，戴立辉

（闽江学院 数学系，福建 福州 350108）

通过若干实例讨论了用线性方程组解决矩阵秩问题的思路与方法.

矩阵的秩；线性方程组；应用

线性方程组的理论与矩阵的秩有很密切的关系，但一般的高等代数和线性代数的教科书多是讨论如何用矩阵的秩来解决线性方程组的问题，对如何用线性方程组来讨论矩阵的秩涉及的不多.而事实上很多矩阵秩的问题如果用线性方程组来讨论的话是很容易解决的，本文试图通过实例介绍用线性方程组解决矩阵秩问题的思路与方法.

1 基本结论

1.1 线性方程组A X=b有解⇔秩(A)=秩(A)，这里A分别是线性方程组的系数矩阵与增广矩阵. 1.2若A是m×n矩阵，W是齐次线性方程组A X=0的解空间，则维(W)=n-秩(A).

1.3 若齐次线性方程组A X=0和B X=0的系数矩阵A和B分别是s×n与m×n矩阵，则

（1）若A X=0的解都是B X=0的解，那么秩(A)≥秩(B)；

（2）若A X=0与B X=0同解，那么秩(A)=秩(B)；

（3）若A X=0的解都是B X=0的解，且秩(A)=秩(B)，那么A X=0与B X=0同解.

证明 设W1与W2分别为A X=0与B X=0的解空间，则

维(W1)=n-秩(A)，维(W2)=n-秩(B)

（1）由假设知W1⊆W2，于是有维(W1)≤维(W2)，从而有

n-秩(A)≤n-秩(B)

故秩(A)≥秩(B).

（2）由于W1=W2，所以n-秩(A)=n-秩(B)，故秩(A)=秩(B).

（3）由于W1⊆W2，又维(W1)=维(W2)，所以W1=W2，故A X=0与B X=0同解.

注：当秩(A)=秩(B)时，A X=0与B X=0不一定同解.如，A=(0，1，0，…，0)，B=(1，0，…，0)时，秩(A)=秩(B).但A X=0的解空间为

W1={(k1，0，k3，…，kn)'|ki是任意数，i=1，3，…，n}

而B X=0的解空间为

W2={(0，k2，k3，…，kn)'|ki是任意数，i=1，3，…，n}

显然，W1≠W2，故A X=0与B X=0不同解.

2 实例

例1设A、B分别为m×k和m×s矩阵，α是m维列向量，若秩(B α)=秩(B)，则秩(A B α)=秩(A B).

例2设A、B分别为m×n和n×s矩阵，且A B=0，则

秩(A)+秩(B)≤n

证明 设B的列向量为B1，B2，…，Bs，则

0=A B=A(B1，B2，…，Bs)=(A B1，A B2，…，A Bs)

于是A B1=A B2=…=A Bs=0，即B1，B2，…，Bs为A X=0的解.

令W为A X=0的解空间，则B1，B2，…，Bs∈W，因此B的秩，亦即列向量组B1，B2，…，Bs的秩不大于W的维数，即

秩(B)≤维(W)=n-秩(A)

故，秩(A)+秩(B)≤n.

例3设A为n阶方阵，则存在n阶方阵B，使得

秩(A)+秩(B)=k

其中k是满足秩(A)≤k≤n的任何整数.

证明 设秩(A)=r，k是满足r≤k≤n的任何整数.

若r=n，则k=n，于是取n阶方阵B=0，就有

秩(A)+秩(B)=k

若r

当k=r时，取n阶方阵B=0，就有秩(A)+秩(B) =k.

当k>r时，有1≤k-r≤n-r，令n阶方阵

B=(B1，…，Bk-r，0，…，0)

则秩(B)=k-r，于是有

秩(A)+秩(B)=r+k-r=k.

例4若A是m×n实矩阵，则秩(A'A)=秩(A).

证明显然，A X=0的解都是(A'A)X=0的解.

设X0是(A'A)X=0的解，则(A'A)X0=0，从而X0' (A'A)X=0，于是(A X0)'(A X0)=0，由于A X0是实m维列向量，所以A X0=0，即X0是A X=0的解.

因此，A X=0与(A'A)X=0同解，故秩(A'A)=秩(A).

②用与例2同样的方法可以证明，当A为复矩阵时有

例5设A、B分别为k×m和m×n矩阵，且秩(A B)=秩(B)，则对任意n×s矩阵C，都有秩(ABC) =秩(B C).

证明由秩(A B)=秩(B)及B X=0的解都是(A B) X=0的解，知B X=0与(A B)X=0同解.

设X0是(ABC)X=0的任一解，则(ABC)X0=0，于是C X0是方程组(A B)X=0的解，从而C X0是B X=0的解，因此(B C)X0=0，即X0是(B C)X=0的解.

另一方面，(BC)X=0的解显然是(ABC)X=0的解.

所以，(BC)X=0与(ABC)X=0同解，故秩(ABC)=秩(BC).

〔1〕北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔2〕樊恽，钱吉林，等.代数学辞典[M].武汉:华中师范大学出版社,1994.

O151.2

A

1673-260X（2010）03-0006-02

“十一五”国家课题“我国高校应用型人才培养模式研究”数学类子课题研究项目（FIB070335-A2-03）