一类奇异二阶脉冲微分方程三点边值问题正解存在性

杨静宇

（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）

一类奇异二阶脉冲微分方程三点边值问题正解存在性

杨静宇

（赤峰学院 数学学院，内蒙古 赤峰 024000）

本文利用严格集压缩算子范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理讨论了一类奇异二阶脉冲微分方程三点边值问题的正解存在性，并将相关文献中的部分条件做了推广.

奇异脉冲微分方程；正解；锥

1 预备知识及引理

非线性脉冲微分方程是微分方程的一个重要分支,文献[1],[2]及[6],[9],[10]针对不同的方程类型,在不同的空间中分别利用上下解方法及不动点定理等理论讨论了方程解、正解以及多个正解的存在性.抽象空间中带脉冲的奇异边值问题是脉冲微分方程领域比较新的分支，文献[7],[8]分别讨论了两类奇异脉冲微分方程解及正解的存在性.文献[1]在Rn空间中利用Shauder不动点定理考察了方程

解的存在性，文[2]在Banach空间中利用严格集压缩算子范数形式的锥拉伸锥压缩不动点定理讨论了方程(1)的一种特殊情况即η∈(tm,1]时方程正解的存在性.本文则在文[2]的基础上减弱部分条件仍利用严格集压缩算子范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理针对f(t,x,x')在t=0.t=1奇异的情况讨论第三点η∈(tm,1]时方程(1)正解的存在性.

PC[J,E]={x:J→E,x(t)在t≠tk连续，在t=tk左连续右极限存在}

PC[J,E]={x:J→E,x'(t)在t≠tk连续，在t=tk左连续右极限存在}

（1）||Ax||≤||x||,∀x∈P∩∂Ω1;||Ax||≥||x||,∀x∈P∩∂Ω2.

（2）|Ax||≥||x||,∀x∈P∩∂Ω1;||Ax||≤||x||,∀x∈P∩∂Ω2.

考察算子方程 Ax(t)=x(t)其中

引理2[4]x∈PC1[J,E]∩C2[J',E]是方程(1)的正解当且仅当x∈PC1[J,E]是方程(2)正的不动点.

2 主要结果

为方便起见将条件归列如下：

(h'4)将 (h4)中||x||+||y||→0,||x||→0改为||x||+||y||→+∞, ||x||→+∞其余不变.

(h'5)将(h5)中||x||+||y||→+∞改为||x||+||y||→0其余不变.

引理3设(h1),(h2),(h3)满足，则对任意r＞0A映Q∩Br入Q是严格集压缩算子.

定理1若(h1),(h2),(h3),(h4),(h5)满足，那么当f在x=0或x=1点奇异时方程（1）至少有一个正解.

证明 当满足(h1),(h2),(h3)时，由引理3知A是映Q∩Br入Q的严格积压缩算子.

由(h5)存在γ'＜γ使min{ξ'1,ξ'2}＞1，由极限的定义，对于γ'存在L＞r,对任意t∈I'当||x||PC1＞L时有，||f(t,x,y)||≥γ'(||x||+||y||).取R=2L＞L,Ω2={x∈Q||x||PC1＜R}.当x∈∂Ω2∩Q时,对任意t∈I'有

根据Hahn-Banach定理,存在h∈P*,使得||h||=1且

由||||PC的定义知

同理当x∈∂Ω2∩Q时,对任意t∈I'有

同样由Hahn-Banach定理及||||PC的定义知有

推论1若(h1),(h2),(h3),(h'4),(h'5)满足，那么当f在x=0或x=1点奇异时方程(1)至少有一个正解.

证明 与定理1的过程类似.

定理2若(h1),(h2),(h3),(h4),(h'4),(h6)满足，那么当f在x=0或x=1点奇异时方程(1)至少有两个正解.

证明 与定理1类似.

注：本文的条件(h5)在一定程度上推广了文献[5]中的条件(H3)文献[2]中的条件(H4)

4 应用

〔1〕曹晓敏.二阶脉冲方程三点边值问题解的存在性[J].数学的实践与认识,2004,34(3)：148-153.

〔2〕孙涛,杨静宇,段晓东.Banach空间一类二阶非线性脉冲微分方程三点边值问题多个正解的存在性[J].东北大学学报（自然科学版）2008,29(3)：433-436.

〔3〕郭大均.非线性分析中的半序方法[M]，济南：山东科学技术出版社,2000.129-142.

〔4〕Guo Dajun.Existence of solutions of boundary value problems for nonlinear order impulsive differential equations in Banach spaces[J],Math Amal Appl,1994,181(2): 407-421.

〔5〕张志涛.Banach空间二阶非线性脉冲形微分方程两点边值问题的多解存在性[J].数学物理学报,1996,16(3):300-309.

〔6〕郭大均,孙经先.抽象空间常微分方程[M].济南：山东科学技术出版社,1989.

〔7〕刘衍胜.Banach空间中一类奇异脉冲微分方程边值问题多个正解的存在性[J],系统科学与数学,2003,23(2):215-222.

〔9〕E.K.Lee,Y.H.Lee,Multiple positive solutions of singular two point boundary value problemsfor second order impulsive differential equations[J],Appl.Math.Comput,158(2004)：745-759.

〔10〕R.P.Agarwal,D.O’Regan,A multiplicity result for second order impulsive differential equations via the Leggett Williama fixed point theorem[J],Appl.Math. Comput,161(2005)433-439.

0175.8

A

1673-260X（2010）09-0011-03

内蒙古高等学校科学研究项目，NJzr08150,NJzc08160