近自由水面水平板式防波堤消波特性及消波机理研究

王 科，许 旺，张志强

（大连理工大学工程力学系工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁 大连 116024）

1 前 言

近数十年来，一系列大型海工结构物例如海上储油基地、人工岛或者大型海上飞机场都建在远离大陆的深海区域。对于这类超大型浮体结构VLFS（Very Large Floating Structure），有关研究表明在波浪的作用下会产生很大的弹性变形[1-2]。为了解决上述问题，有一种设计理念是考虑在这类大型结构物前面建造经济有效的防波堤来防止巨浪直接作用在其上面，从工程应用的角度来看，这也不失为解决问题的一种有效手段。水平板型防波堤便是这样一种概念形式的防波堤，它一般位于有限水深，为刚性、水平、薄板。通过在VLFS前面布置这种板式防波堤可有效减小VLFS的动力响应。这种板式结构形状简单、便于安装，它可以允许内外水体自由交换，保持海域水质清洁不受污染。

二维线性板式结构问题已有多种解法，例如解析解法、特征值匹配方法和格林定理方法等[3-5]。根据对单层板、双层板和多层板的实验结果来看[6-9]，当波浪进入浅淹没水平板上部的浅水区域时波长会变短，板后透射波浪会产生一个较大的相位差，在距离板后很短的水域内会有强烈的非线性水动力作用，这种强烈的非线性水动力作用会加快板周围水体的交换速度并使得板后透射波浪迅速达到定常状态。

本研究采用基于边界元理论的数值波浪水槽技术[10-15]来研究完全非线性波浪与水平板的相互作用问题，应用这种方法来研究波浪与浅淹没水平板结构的相互作用具有很大的挑战性，原因主要是该型结构从数值模拟的角度来看具有尺寸比例非常特殊的积分边界。为了克服上述问题，波浪自由表面的追踪计算采用混合欧拉—拉格朗日模型（MEL），并采用光滑和重组技术模拟自由表面形状。透射波浪和水平板上的波浪力的傅立叶分析结果揭示了水平板存在时自由表面的非线性变化特性，并对这种板式结构的消波机理进行了探索。边界值问题中非线性波浪与板式防波堤相互作用的基本理论在文中第二节给出，透射波浪与波浪力的结果与分析在第三节给出，关于该种型式防波堤的优化设计也在该节进行了讨论。第四节总结了该种型式防波堤消波特性、消波机理，并提出了建设性意见。

2 理论公式

2.1 数值波浪水槽模型

在数值波浪水槽模型中，计算水体Ω由自由表面SF、浅淹没水平板SH、造波板S0、水槽底部和边墙SB所围绕的边界组成。笛卡尔坐标系位于无扰动自由表面上，其中x轴位于水线上，y轴垂直向上为正，坐标系原点位于自由表面与造波板的交界处如图1所示。SW为阻尼层，长度为一倍波长，单位法线向量以指向流体外边界为正。

采用如Longuet-Higgins和Cokelet类似的方法：所有的变量都用流体密度ρ，重力加速度g和水深H作如下处理：

这里p′，F′，ω′分别表示无因次化的水压力、波浪力和波浪圆频率。为了叙述方便，上标‘′’在下文中可忽略。

假定流体为无粘性、不可压缩的理想流体并且运动无旋，自由表面的张力可以忽略。这样流体的速度可表示为速度势φ（x,y:）t的梯度，速度势φ在整个流体域内满足拉普拉斯方程，求解速度势φ应满足的控制方程和边界条件为：

在方程（2）中求得速度势 φ（x,y:）t后，便可得到自由表面的波浪升高，而计算作用在板上的力和力矩都需要先计算流体压力公式中的φt=∂φ/∂t项，通常计算φt采用速度势φ后差分的方法。但这种方法存在很大的误差，造成数值计算的不稳定。这里采用直接计算的方法求解φt，由于φt也满足拉普拉斯方程，其边界值问题可描述如下：

在公式（3）中U为造波板运动速度，造波板可作规则或者不规则运动[16-18]。

2.2 波浪产生与吸收

在垂直边界S0处安装一个活塞式造波机用来产生沿水槽纵向的重力波，为了避免造波板突然启动对整个水域造成冲击引起初始阶段数值模拟的不稳定，引入调整函数fm（）t对造波板速度进行修正。由于右端刚性墙的存在，波浪会产生反射从而使得数值模拟进行不了多久就会中断，为了维持长时间的数值模拟，采取在水槽两端自由表面的运动学条件和动力学条件上铺设人工阻尼层的方法来满足波浪的外场辐射条件，这样无论从哪个方向传来的波浪在阻尼层中能量都会被大量吸收。方程（2）、（3）中的ν xe（）为阻尼系数下标‘e’表示波浪静平衡状态时的值，在阻尼层内阻尼系数是抛物线形变化为波浪圆频率的函数，而在其他区间阻尼系数为0。φe,x→e值一般可选取波浪水槽达到静平衡时的理论参考值[19]。

2.3 波浪力和力矩

作用在水平板瞬时湿表面上的流体压力可通过伯努利方程（Bernoulli）求得：

作用在板上的力和力矩分别为：

其中r为相对于水平板中心的位置向量，波浪力矩以顺时针为正。

2.4 边界积分方程

如果定义Φ= （φ; φt），在计算区域Ω内应用格林第二定理可得到下列边界积分方程：

由方程（6）可见，φ和φt的系数矩阵完全相同，且仅与边界形状有关。根据数值波浪水槽的不同边界条件，方程（6）变换为：

以上，（7）式中C为空间角，（8）式中（x,y）和（ξ,η）分别为域点和源点坐标，在边界交界处采用双重节点技术去除该处的数值奇异性，格林函数G（P,Q）中含有基本解在底面的镜像，这样可在积分方程（6）中去掉底面积分。

2.5 边界单元离散

在用边界单元方法离散方程（6）时，可以采用线性单元，则方程（7）可分解为以下形式：

2.6 波浪自由表面平滑与重组

在模拟波浪推进过程中，用四阶龙格—库塔方法积分求解每步新形成的自由表面位置,同时为了防止波浪破碎或波面变形而引起计算方程奇异,通常采用五点等距数值方法对液面进行光滑处理，在本文中将上述公式加以推广，采用不等距高阶五点光滑格式对其进行处理[20]，提高计算精度。同时在双重节点处和曲率高度集中的曲面处采用等弧长节点重组技术将自由表面上的拉格朗日质点进行重组，从而使波面光滑效果得到显著加强,不会出现程序中断。这样在每一时间步长，自由表面经重组处理后，可以完全避免由于自由表面拉格朗日点反复穿过混合边界而引起的控制点总数增减。

3 水平板存在时自由表面形状及波浪透射系数

3.1 波浪透射系数的定义及无因次分析

应用数值波浪水槽方法研究板式防波堤的非线性消波问题，自由表面的波面形状，板前和板后一定位置的水面升高以及远场波浪透射系数是数值模拟中最关心的三个方面。自由表面的波面形状会由于板式防波堤的存在发生严重的非线性变形，这是线性理论不能很好解释的；对板前和板后一定位置的波面升高进行傅立叶分析和波浪谱分析，是探索板式防波堤消波机理的一个重要途径；远场波浪透射系数是衡量板式防波堤消波效果的一个重要指标，该指标可由造波板后的达到定常状态的波高分析得到。

对达到定常状态的波面进行傅立叶分析可得到透射波浪的各阶谐波的透射系数，如果定义b1,b2,b3,…,bm为 m 阶谐波振幅，则各阶谐波的透射系数可定义为 T1=b1/ηI,T2=b2/ηI,T3=b3/ηI,…,Tm=bm/ηI，其中ηI为入射波浪振幅。由无因次化分析可知，波浪透射系数由以下要素决定：（1）板的浅深与波高比值 d/（2ηI），d 为板潜深，2ηI为波高；（2）板长与波长的比值2a/L，2a为板长，L为波长；（3）板潜深与水深比值d/H，H为水深。由线性理论可知当浅淹没水平板非常接近自由表面时，水深的影响非常小，d/H的影响可以忽略，这样波浪透射系数可表示为R=f（d/（2ηI）,2a/L）。数值模拟的基本参数见表1，分别对应短波、中波和长波三种情形。水平板放置在距造波板2倍波长处 （见图1），波浪水槽长度为8倍波长，水深为2m，板长2a=1.2m，板厚为0.005m。刚性墙SB和造波板S0上单元数为40，阻尼层SW上为30，自由表面SF上为240，平均每个波长节点数为40。透射系数由X=5L处波面升高得到。

3.2 自由表面形状及波面升高

图2为中波（T=1.7s）与水平板相互作用时，自由表面在达到定常状态的第14个周期和15个周期之间的5个不同时刻的形状,由图可明显发现板前和板后的自由表面形状变化,入射波浪振幅在板后被大幅衰减。为了进一步研究波面的变化过程，选取距离板后一倍波长范围内的四个点进行分析，这四个点的坐标分别距造波板为X1=2.25L，X2=2.5L，X3=2.75L和X4=3L，板的后部位于X=2.27L，这样点X1=2.25L正好位于板后顶部。

上述四个点的波面随时间变化曲线见图3，由图可见波高在板后一倍波长范围内衰减很快，实际上在距离板后四分之一波长范围内，即点X2=2.5L以前，波浪的衰减过程基本完成。这样剧烈的波面变化意味着在很短的时间间隔内有强烈的流体非线性相互作用，波浪能量在更宽的频率范围内重新分配。图4为离造波板X=5L处不同波浪的波面升高，由图可见对短波而言在无因次化时间35左右，板后波高达到定常状态时波高衰减了50%，这个结果证实了浅淹没板式结构的确具有很好的消波效果，对中波而言波高甚至衰减了80%，而长波却仅仅衰减了10%。以上结果表明波浪的衰减效率与无因次化参数d/（2ηI）和2a/L有关，为了进一步探究这两个参数的影响程度，对透射波浪作傅立叶分析和波浪谱分析。

表1 前三阶透射波浪计算结果值Tab.1 Calculations of first three order wave transmitted coefficients

3.3 波浪透射系数的傅立叶分析和谱分析

由于平板的存在板后波面变化剧烈，为了追踪这种变化，对T=1.7s的波浪在X2=2.5L和X=5L处的波面进行傅立叶分析和谱分析，结果如图5所示。由图可见在X2=2.5L处，波浪至少分解为3阶高频波浪，其中二阶波浪振幅为一阶基频的14.3%，三阶波浪振幅为一阶基频的10%。而在远场X=5L处，二阶和三阶波浪几乎消失，只有一阶基频波浪存在但波高被大幅衰减，板后波浪分解成一系列短波并快速消散应当是板式结构消波的一个主要原因。在X=5L处从图4中截取一段定常状态的远场波面数据进行傅立叶分析，各种不同波浪入射下板式防波堤前三阶透射波浪系数值见表1所示，由表1可见在远场时对各种入射波浪而言一阶基频波浪占主要地位。

当中波入射时透射系数为0.1875，此时d/（2ηI）=1.56，2a/L=0.28，长波入射时透射系数为0.89，此时d/（2ηI）=1.79，2a/L=0.12，入射波高仅衰减了10%，主要原因是由于2a/L值太小。当短波入射时d/（2ηI）=2.63，尽管2a/L=1.1比中波大但透射系数为0.526，消波效果远差于中波入射情况，这主要是由于板潜的太深，d/（2ηI）的影响比2a/L大。如果将d/（2ηI）固定在中波情况下消波效果较好的1.56附近并将长波入射情况下的板长增加1倍，三种入射波浪计算结果见表2，由表2可见当d/（2ηI）＝1.56，2a/L=0.24～1.1时，所有波浪的一阶透射系数占主导作用，二阶、三阶分量都很小，可忽略不计，上述结果再次表明板的消波效果与 d/（2ηI）和 2a/L有关，当 d/（2ηI）在 1.56附近时，板长仅取为波长的1/3就可以获得工程上满意的消波效果，此时一阶波浪透射系数在20%以下。

表2 修正的前三阶波浪透射系数Tab.2 Modified transmitted wave coefficients

4 波浪散射力

4.1 时间序列波浪散射力

下面讨论计算参数按表1取值时，不同波浪作用下水平板所受到的波浪散射力，忽略静水压力的影响，图6为短波T=0.8s的波浪散射力变化曲线。由于板很薄，图6中水平波浪力比垂直波浪力要小近两个量级，但这两个力的周期和相位跟入射波浪基本一致，同时所有的波浪力曲线都呈周期性震荡，垂直波浪力和力矩曲线基本上相对于x轴对称，波浪力在波峰附近出现了更窄更高的峰值，这意味着波浪的强非线性作用。图7和8分别为中波T=1.7s和长波T=2.5s时的波浪力变化曲线，与短波相比在中波入射时，波浪力在波峰位置出现双峰。值得注意的是‘双峰’仅在中波时出现，而在短波不出现，这一方面说明中波时非线性变化剧烈，另一方面也揭示‘双峰’现象有可能是由于强非线性作用造成的数值计算误差，关于这方面的问题将在以后作进一步的研究。图7中当入射波浪波峰通过平板时按线性理论板上的波浪力应当最大，但在非线性计算中波浪力并没有在此时达到最大值，反而出现一个很大的压力下降，波浪力发生分解，其中水平力和垂直力下降幅度高达100%，在很短的时间内由最大值变为0，力矩下降幅度也很大，大约为40%。与中波相比长波时（见图8）水平波浪力的波峰和波谷附近都出现双峰，但垂直波浪力的变化比较有趣，垂直波浪力均小于0而且在前半个波浪周期几乎均为0；垂直波浪力在波谷附近也出现双峰但是整个波浪曲线关于x轴已经不具有对称性，事实上这种对称特性已经移到轴F_Y/ρgH2=-0.02上，该轴处的值表示的是长波作用在板上的平均漂移力，这种现象应当是长波与水平板相互作用时所特有的。

与短波和中波相比长波产生的力矩曲线与垂直力曲线也有所不同，在第一个四分之一波浪周期力矩值很小几乎为0，但在接下来的四分之一波浪周期内在波峰位置力矩值出现双峰，随后在接着的半个波谷周期内力矩变化与垂直力相似但波谷宽度变得更窄。由以上对各个入射波浪消波分析可知，波浪消波效果最好的时刻是当入射波浪的波峰通过水平板的时刻，此时剧烈而且复杂的流体相互作用使得作用在板上的波浪力在极短的时间内迅速改变方向甚至使水平板处于瞬时平衡状态。

由数值计算和实验观察可认为这种瞬时平衡状态主要可归结于板的浅水效应引起的板上部波浪荷载增加以及板后波浪回流所致。水平板的浅水效应应当是波浪消波的主要原因，当平板位于一个合适的d/（2ηI），2a/L范围时，板上部波浪的波数会变小流体速度加快，自由表面会发生严重变形，水体动能会快速消散并与板后水体剧烈作用；板下部水体由于水平板的阻隔，其垂直方向的动能不仅不能传递到上部自由表面反而会被板反射回来对下部水体的速度分布产生剧烈扰动，减缓了水质点的垂向速度，这种垂直方向被剧烈扰动的水体客观上阻止了入射波浪在板下部的传播[9]。

当板上部水体冲入板后不远范围流体域时，由于该部分水体速度比板后水体速度要快，非常剧烈的流体相互作用会使得部分水体回流到板上，增加板的上部荷载。回流水体主要分为两部分：第一部分是最主要的，回流到平板上部使自由表面发生严重变形并在板上产生一个垂直向下的力；第二部分回流会与板下部水体发生相互作用减缓板下水体的水平速度。回流或者有回流趋势（例如短波）会强化波浪和平板的非线性作用效果，但这仅是波浪消波的一种原因。对长波而言回流依然存在而且可以使平板长时间处于平衡状态，但波浪消波效果并不理想，一阶波浪透射系数为0.89；而短波时尽管没有明显的回流发生但一阶波浪透射系数仍达到令人满意的0.526。对消波效果较好的中波情况，其绝对值最大的无因次化垂直力 F_Y/ρgH2为 8×10-3，力矩 F_M/ρgH3为 8×10-4；而短波时 F_Y/ρgH2约为 3×10-3，力矩F_M/ρgH3约为5×10-5，比中波时各值分量小一阶但消波效果仍很好，波浪透射系数为0.526；长波时 F_Y/ρgH2为-4×10-3，力矩 F_M/ρgH3为-3×10-4，力和力矩的值与中波相比具有相同的数量级但均为负值。近一步观察短波、中波和长波的透射系数以及板的垂直波浪力可以发现波浪消波效果很好时，作用在板上的垂直波浪力均为正值，这说明作用在板下部的波浪力比上部的要大，或者说板下部水体被充分扰动。

在长波模拟中波长大约为板长的12倍，水平板仅占整个波形曲线的一小部分，板主要受到上部水体的作用，浅水效应并不明显而且下部水体并没受到扰动。如果按表2中的控制参数计算，长波的波浪透射系数会达到0.167，由此可见好的消波效果必然会伴随强烈的波浪回流和正的波浪垂直散射力。而且无因次最大垂直波浪力大于0.003可作为判断波浪透射系数小于0.5的一个合理条件。但需要注意的是回流现象只是波浪消波的一个必要条件而不是充分条件。由短波垂直波浪力可见，没有或者没有明显的回流情况下波浪透射系数仍达到工程上可接受的0.526，同样由图5的波浪透射分析可知水平板产生的回流和板周围的水体扰动使得自由表面发生严重变形，波浪分解成一系列高频短波，这种高频短波在板周围快速消散能量，大幅衰减透射波浪振幅。高频短波的产生应当是波浪消波的第三个原因，当然由实验观察还发现波浪破碎和涡流分离也是波浪消波的另两个主要原因，但在目前势流假定和非线性数值水槽模拟中，板的浅水效应、板后回流和波浪分解为高频短波是波浪消波的三个最主要原因。

合理地选择控制参数d/（2ηI），2a/L并且有效地强化作用在板上的垂直力，就可以满足工程上需要的波浪透射要求。 由波浪力分析可知由于自由表面的强非线性使得整个波浪力变化周期与入射波浪完全不同，对这种非线性结果进行傅立叶分析和谱分析是极为必要的。

4.2 波浪散射力的傅立叶分析和谱分析

水平板的波浪力结果分析仅考虑消波效果较好的中波情况，短波和长波因为消波效果不是很明显就不分析了，同样对中波来说因为板很薄水平波浪力很小也不讨论了，一个主要原因是在板面积分求波浪力中可能存在不可控制的数值误差。从图7中截取一段数据，中波作用下板上波浪力前三阶垂直力和力矩的傅立叶和谱分析结果见图9，由图可见，基频波浪占主要影响但是二倍频和三倍频波浪分别是基频分量的30%和25%也不能忽略。谱分析结果与傅立叶分析结果基本相似，由图9垂直波浪力可见三阶以上分量的影响也不能忽略，实际上五阶分量为基频的10%，这样的结果从一个方面揭示了线性理论的局限性。至少在考虑波浪不破碎的完全非线性模拟中可以得出这样的结论：对于非常接近自由水面的水平板式结构，如果在频域范围求解上述问题，波浪力至少应当考虑到五阶分量。由图9的分析还可以发现尽管存在‘双峰’现象但波浪力频域各分量的对应关系并没有很大改变，这也从一个侧面暗示了‘双峰’现象有可能是在某个特定时刻由强非线性作用造成的数值不稳定。

5 结论与建议

应用基于边界元方法的波浪数值水槽技术来研究非常接近自由水面的板式防波堤的消波效果，由于假定自由表面条件是完全非线性的，克服了通常自由表面为线性的局限性，计算结果更加准确，更加接近真实情况。在数值波浪水槽中自由表面形状采用四阶龙格—库塔方法跟踪，两端开边界条件采用吸收边界层的方法处理。由非线性模拟结果可知：中波作用时波浪的非线性作用强烈，对长波来说存在一个负的波浪漂移力使得整个波浪力作用曲线下移。

通过对透射波浪和作用在板上的波浪力结果进行傅立叶分析和谱分析可以得出板式防波堤的消波机理由以下三方面组成：第一、由于水平板的浅水效应使板周围水体发生扰动，自由表面产生严重变形；第二、由于板后水体发生回流主要作用在板上部，这点可从垂直波浪力产生双峰现象得到印证；第三、板后水体的强非线性作用使透射波浪发生严重分解，产生大量高频短波，这些短波在板周围快速散射，消耗大量波浪能量使其不能完全向远场传播。

从接近自由水面的水平板完全非线性数值计算可知如果在频域内解决上述问题，波浪频率至少应当考虑到三阶以上分量。波浪消波效果主要有两个无因次化参数d/（2ηI）和2a/L控制，合理调节这两个参数可将透射系数控制在0.5以下，同时工程造价也较合理。需要注意的是与传统重力式防波堤相比，板式防波堤对长波基本无效，但它可以布置在大型海工结构物前防止巨浪直接作用在其上，也可以建造在近海岸线侵蚀区或者海水养殖区来降低波浪的水动力直接作用，因此这类结构是有着广阔的应用前景的。

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