利用向量方法探求“线性回归方程”新路，并用“Scilab”新工具验证

2010-09-21苏艳华史秀英

赤峰学院学报·自然科学版 2010年11期

关键词：人民教育出版社新路赤峰

苏艳华，史秀英

（1.沈阳大学理学院，辽宁沈阳110044；2.赤峰学院继续教育部，内蒙古赤峰024000）

利用向量方法探求“线性回归方程”新路，并用“Scilab”新工具验证

苏艳华1，史秀英2

（1.沈阳大学理学院，辽宁沈阳110044；2.赤峰学院继续教育部，内蒙古赤峰024000）

本文把高中课本中向量的有关概念作了推广，利用向量方法探求“线性回归方程”新路，并用“Scilab”新工具验证.

向量方法；线性回归方程；Scilab

本文推广了高中课本中向量有关概念，然后利用向量方法探求“线性回归方程”新路，并用“Scilab”新工具给予验证.

1 向量有关概念的推广

在平面解析几何中，两个点A和B间的距离等于以点O为起点的两个向量O!"A，O!"B的端点之间的距离，这个长度就是两个向量O!"A，O!"B的差O!"A-O!"B的模，它也可以理解为两个向量O!"A，O!"B的距离.那么在空间两个向量的距离不妨也可以类似定义：

定义1设α与β是空间任意两个向量，|α-β|称为向量α和β的距离，记为d(α,β).

在平面向量中我们学过平行（共线）向量的概念，对于空间向量，不难理解任何两个向量都是共面的，共面向量我们不妨这样定义：

定义2在空间中存在一个向量β若与一个向量集合W中的每一个向量都垂直，则称向量集合W中的向量共面.

定义3上面集合W中的每一个向量经过平移后都能平移到某一个平面α中，平面α与向量集合W的并集称为向量平面L，在满足定义2的条件下，称向量β垂直于向量平面.

在立体几何中，平面外一点到平面内一点的距离，连接两点的线段与该平面垂直时距离最短，由此不难想到：

结论在空间向量中的一个向量β到一个向量平面L中一向量α的距离，当向量α-β与向量平面L垂直时最短.

先设向量平面为L，它是由若干向量α1,α2,…,αk所生成，表示为

L（α1,α2,…,αk），设α是L中的向量，如图1.

分析可知：若向量α-β垂直于向量α，则有|α-β|≤|αi-β|.

图1

在人教版B版第二册教材“阅读材料”第51页“向量概念的推广”中，将向量空间扩充到了n维，因此猜想有以下结论成立.

结论1在n维空间中上面的三个定义仍然成立，且在n维空间中两个向量垂直，则有这两个向量的数量积为0.

结论2在n维空间中的一个向量β到一个向量平面L中一向量α的距离，当向量α-β与该向量平面L垂直时最短.

2探求“线性回归方程”新路

下面分析人教版第一章第六节“线性回归”中的例题：一个工厂在某年里每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万元）之间有如下一组数据(如表1)：

表1

（1）画出散点图（2）求月总成本与月产量之间的回归方程.

通过图形分析可以看出两个数量关系接近直线关系，下面用向量的方法求解

解：设求出的方程为y=bx+a，即a+bx-y=0

列出表2：

i由此根据以上给出的数据可以构造以下方程组

下面求a，b使最小即可.

表2

由以上的猜想，构造向量β=（y1,y2,y3,……，y12），可以设一个向量集合W，构造向量α=（a+bx1,a+bx2,a+bx3,……a+bx12）∈W.

向量集W中的向量是否共面，还不知道，若不共面就不能用以上的结论处理，在这里可以先做一个假设，设W中的向量共面，它们的向量平面为L，这样要使（1）式最小只要使|β-α|2取最小值即可，即在共面向量W中找一个向量α0=（a0+b0x1,a0b0x2,……,a0b0x12），使得向量β-α0与平面向量L中的任何一个向量都垂直，即（β-α0）·W=0.